Question

如圖，在線段AE的同側(cè)作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），連接EG并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)M，作MN⊥AB，垂足為N，MN交BD于點(diǎn)P．設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1．
（1）證明：△CMG≌△NBP；
（2）設(shè)BE=x，四邊形MGBN的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）如果按照題設(shè)方法作出的四邊形BGMP是菱形，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，可得∠ABD=45°，同理∠BEG=45°再求證四邊形BCMN是矩形，然后即可判定△CMG≌△NBP，
（2）根據(jù)正方形BEFG，從而可得CM=1-x，然后得y=

1

2

（BG+MN）•BN即可．
（3）由已知易得四邊形BGMP是平行四邊形，要使四邊形BGMP是菱形則BG=MG，可得x=

2

(1-x)，解得x即可．

解答：證明：（1）∵正方形ABCD，
∴∠C=∠CBA=90°，∠ABD=45°，
同理∠BEG=45°，
∵CD∥BE，
∴∠CMG=∠BEG=45°，
∵M(jìn)N⊥AB，垂足為N，
∴∠MNB=90°，
∴四邊形BCMN是矩形，
∴CM=NB，
又∵∠C=∠PNB=90°，∠CMG=∠NBP=45°，
∴△CMG≌△NBP；

（2）∵正方形BEFG，
∴BG=BE=x，
∴CG=1-x，
從而CM=1-x，
∴y=

1

2

(BG+MN)•BN=

1

2

(1+x)(1-x)=

1

2

-

1

2

x2（0＜x＜1）；

（3）由已知易得MN∥BC，MG∥BP，
∴四邊形BGMP是平行四邊形，
要使四邊形BGMP是菱形，則BG=MG，
∴x=

2

(1-x)，
解得x=2-

2

，
∴BE=2-

2

時(shí)四邊形BGMP是菱形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查正方形的性質(zhì)，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題咧二次函數(shù)關(guān)系式，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合性較強(qiáng)，而且有一定的拔高難度，屬于難題，要求學(xué)生做題時(shí)一定要仔細(xì)，認(rèn)真．