Question

（2007•溫州）在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=4cm，BC=5cm，點(diǎn)D在BC上，并且CD=3cm，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1cm/s的速度，沿AC向終點(diǎn)C移動(dòng)；點(diǎn)Q以1.25cm/s的速度沿BC向終點(diǎn)C移動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PE∥BC交AD于點(diǎn)E，連接EQ，設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．
（1）用含x的代數(shù)式表示AE、DE的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在BD（不包括點(diǎn)B、D）上移動(dòng)時(shí)，設(shè)△EDQ的面積為y（cm²），求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，△EDQ為直角三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）可根據(jù)PE∥DC，來(lái)得出關(guān)于A(yíng)E，AD，AP，AC的比例關(guān)系，AD可根據(jù)勾股定理求出，那么就能用x表示出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而可表示出DE的長(zhǎng)；
（2）求三角形EDQ的面積可以QD為底邊，以PC為高來(lái)求，QD=BD-BQ，而B(niǎo)Q可根據(jù)Q的速度用時(shí)間表示出來(lái)，那么也就能用x表示出QD，而PC就是AC-AP，有了底和高，就可以根據(jù)三角形的面積公式得出關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式；
（3）因?yàn)椤螦DB是鈍角，因此要想使三角形EDQ是直角三角形，那么Q就必須在CD上，可分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)∠EQD=90°時(shí)，四邊形EPCQ是個(gè)矩形，那么EQ=PC，DQ=BQ-BD，根據(jù)EQ∥AC可得出關(guān)于EQ，AC，DQ，DC的比例關(guān)系從而求出x的值．
②當(dāng)∠DEQ=90°時(shí)，可用PC和∠DAC的正弦值來(lái)表示出EQ，然后用相似三角形EQD和ABC，得出關(guān)于EQ，AC，DQ，AD的比例關(guān)系，從而求出x的值．
解答：解：（1）在Rt△ADC中，AC=4，CD=3，
∴AD=5，
∵EP∥DC，
∴△AEP∽△ADC
∴=，
即=，
∴EA=x，
DE=5-x；

（2）∵BC=5，CD=3，
∴BD=2，
當(dāng)點(diǎn)Q在BD上運(yùn)動(dòng)x秒后，DQ=2-1.25x，
則y=×DQ×CP=（4-x）（2-1.25x）=x²-x+4，
即y與x的函數(shù)解析式為：y=x²-x+4，
其中自變量的取值范圍是：0＜x＜1.6；

（3）分兩種情況討論：
①當(dāng)∠EQD=90°時(shí)，顯然有EQ=PC=4-x，
又∵EQ∥AC，
∴△EDQ∽△ADC
∴=，
即=，
解得x=2.5
②當(dāng)∠QED=90°時(shí)，
∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，
∴△EDQ∽△CDA，
∴=，即=，
解得x=3.1．
綜上所述，當(dāng)x為2.5秒或3.1秒時(shí)，△EDQ為直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，弄清相關(guān)線(xiàn)段的大小和比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．