Question

8．如圖，在△ABC外作兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形，其中∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AF．連結(jié)DC、BE交于F點(diǎn)．
（1）求證：△DAC≌△BAE．
（2）直線DC、BE是否互相垂直，請(qǐng)說明理由．
（3）求證：AF平分∠DFE．

Answer 1

分析 （1）由題意可得AD=AB，AC=AE，由∠DAB=∠CAE=90°，可得到∠DAC=∠BAE，從而可證△DAC≌△BAE；
（2）由（1）可得∠ACD=∠AEB，再利用直角三角形的性質(zhì)及等量代換即可得到結(jié)論；
（3）作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，利用全等三角形的面積相等及角平分線的判定即可證得結(jié)論．

解答 解：
（1）∵∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
又∵AD=AB，AC=AE，
在△DAC與△BAE中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$
∴△DAC≌△BAE；
（2）DC⊥BE．
理由是：
∵△DAC≌△BAE
∴∠ACD=∠AEB
∵∠AEB+∠ANE=90°
∠ANE=∠FNC     
∴∠FNC+∠ACD=90°
∴∠NFC=90°
∴DC⊥BE
（3）如圖，作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，

∵△DAC≌△BAE
∴S_△DAC=S_△BAE，DC=BE，
∴$\frac{1}{2}$DC•AM=$\frac{1}{2}$BE•AN，
∴AM=AN，
∴AF平分∠DFE．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，及直角三角形的性質(zhì)，角平分線的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．