Question

（2005•寧夏）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)E在直角邊AC上（點(diǎn)E與A、C兩點(diǎn)均不重合），點(diǎn)F在斜邊AB上（點(diǎn)F與A、B兩點(diǎn)均不重合）．
（1）若EF平分Rt△ABC的周長(zhǎng)，設(shè)AE長(zhǎng)為x，試用含x的代數(shù)式表示△AEF的面積；
（2）是否存在線段EF將Rt△ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)AE的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)F作FD⊥AC于點(diǎn)D，則Rt△ADF∽R(shí)t△ACB．根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比相等，可以用含x的代數(shù)式表示出DF，根據(jù)三角形的面積公式就可以得到函數(shù)解析式．
（2）三角形ACB的面積可以求出，線段EF將Rt△ABC的面積平分，就可以得到一個(gè)關(guān)于x的方程，解方程，就可以求出X的值．
解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∵EF平分Rt△ABC的周長(zhǎng)，AE長(zhǎng)為x，
∴AF=-x=6-x，
過(guò)F作FD⊥AC于點(diǎn)D，則有Rt△ADF∽R(shí)t△ACB，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比相等，可以得到：
FD=（6-x）
則S_△AEF=-x²+x（1＜x＜3）

（2）當(dāng)S_△AEF=3時(shí)
解之得x₁=，x₂=
∵1＜x＜3
∴x₂=（舍去）
當(dāng)x=時(shí)，6-x=＜5
∴這樣的EF存在．
點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)與相似形的性質(zhì)相結(jié)合的題目．主要利用了相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊的比相等．