已知拋物線y=-x2+(m-4)x+2m+4與x軸相交于A(x1,0),B(x2,0)與y軸交于點(diǎn)C,且x1=-2x2(x1<x2),點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為D.
(1)確定A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求過B,C,D三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(3)若y=3與(2)小題中所求拋物線交于M,N,以MN為一邊,拋物線上任一點(diǎn)P(x,y)為頂點(diǎn)作為平行四邊形,若平行四邊形面積為S,寫出S與P點(diǎn)縱坐標(biāo)y的函數(shù)關(guān)系式;
(4)當(dāng)
13
<x<4
時(shí),(3)小題中平行四邊形的面積是否有最大值?若有,請求出;若無,請說明理由.
分析:(1)拋物線的解析式中,令y=0,可得關(guān)于x的一元二次方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,可得x1+x2以及x1x2的值,聯(lián)立x1=-2x2即可求出A、B的坐標(biāo),而C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2m+4),已知了m的值,也就得到了C點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)由于A、D關(guān)于y軸對稱,根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo);然后可根據(jù)B、C、D的坐標(biāo),由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(3)易求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-1),M(1,3),N(5,3),此題應(yīng)分兩種情況:
①當(dāng)-1≤y≤0時(shí),那么點(diǎn)P到直線MN的距離為3+(-y)即3+|y|,而MN的長為4,則平行四邊形的面積S=4(3+|y|);
②當(dāng)y>0時(shí),點(diǎn)P到直線MN的距離為|3-y|,解法同①.
(4)首先根據(jù)自變量的取值范圍確定S、y的關(guān)系式,然后根據(jù)拋物線的解析式,用x替換掉y,即可得到關(guān)于S、x的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值.
解答:解:(1)由題意得
x1+x2=m-4
x1x2=-(2m+4)
x1=-2x2

解得m=7或m=2,
當(dāng)m=7時(shí),x1=-6,x2=3,x1+x2=-3≠3,
故m=7不合題意,舍去;
當(dāng)m=2時(shí),x1=-4,x2=2;
即:A(-4,0),B(2,0),C(0,8).

(2)D(4,0);
設(shè)過三點(diǎn)的拋物線為y=ax2+bx+c,
則有
4a+2b+c=0
16a+4b+c=0
c=8
,
解得
a=1
b=-6
c=8

拋物線是y=x2-6x+8.

(3)∵拋物線y=x2-6x+8與直線y=3相交,
∴M(1,3),N(5,3),|MN|=4,
而拋物線頂點(diǎn)為(3,-1),
當(dāng)y>0時(shí),S=4|y-3|;
當(dāng)-1≤y≤0時(shí),S=12+4|y|.

(4)使以MN為一邊,P(x,y)為頂點(diǎn),且(
1
3
<x<4
)的平行四邊形面積最大,只要點(diǎn)P到MN的距離最大,所以滿足條件的平行四邊形的面積有最大值是16.
點(diǎn)評:此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)解析式的確定、平行四邊形面積的計(jì)算方法、二次函數(shù)最值的應(yīng)用等知識,難度較大.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y=x2-8x+c的頂點(diǎn)在x軸上,則c等于( 。
A、4B、8C、-4D、16

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y=x2+(1-2a)x+a2(a≠0)與x軸交于兩點(diǎn)A(x1,0)、B(x2,0)(x1≠x2).
(1)求a的取值范圍,并證明A、B兩點(diǎn)都在原點(diǎn)O的左側(cè);
(2)若拋物線與y軸交于點(diǎn)C,且OA+OB=OC-2,求a的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A,與y軸正半軸交于點(diǎn)B,且OA=OB.
精英家教網(wǎng)(1)求b+c的值;
(2)若點(diǎn)C在拋物線上,且四邊形OABC是平行四邊形,試求拋物線的解析式;
(3)在(2)的條件下,作∠OBC的角平分線,與拋物線交于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•虹口區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(0,3),B(1,0)兩點(diǎn),頂點(diǎn)為M.
(1)求b、c的值;
(2)將△OAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)A落到點(diǎn)C的位置,該拋物線沿y軸上下平移后經(jīng)過點(diǎn)C,求平移后所得拋物線的表達(dá)式;
(3)設(shè)(2)中平移后所得的拋物線與y軸的交點(diǎn)為A1,頂點(diǎn)為M1,若點(diǎn)P在平移后的拋物線上,且滿足△PMM1的面積是△PAA1面積的3倍,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•黔南州)已知拋物線y=x2-x-1與x軸的交點(diǎn)為(m,0),則代數(shù)式m2-m+2011的值為( 。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案