Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB邊上有一動(dòng)點(diǎn)P(不與A、B重合)，連結(jié)DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射線BC于點(diǎn)E，設(shè)AP=x．

⑴當(dāng)x為何值時(shí)，△APD是等腰三角形?
⑵若設(shè)BE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
⑶若BC的長(zhǎng)可以變化，在現(xiàn)在的條件下，是否存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)C?若存在，求出相應(yīng)的AP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，并直接寫(xiě)出當(dāng)BC的長(zhǎng)在什么范圍內(nèi)時(shí)，可以存在這樣的點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．

Answer 1

．

試題分析：（1）過(guò)D點(diǎn)作DH⊥AB于H，則四邊形DHBC為矩形，在Rt△AHD中，由勾股定理可求得DH、AD、PH的值，若△ADP為等腰三角形，則分三種情況：①當(dāng)AP=AD時(shí)，x=AP=AD，②當(dāng)AD=PD時(shí)，有AH=PH，故x=AH+PH，③當(dāng)AP=PD時(shí)，則在Rt△DPH中，由勾股定理可求得DP的值，有x=AP=DP．
（2）易證：△DPH∽△PEB?，即，故可求得y與x的關(guān)系式．
（3）利用△DPH∽△PEB，得出，進(jìn)而利用根的判別式和一元二次不等式解集得出即可．
試題解析：（1）過(guò)D點(diǎn)作DH⊥AB于H，則四邊形DHBC為矩形，

∴DH=BC=4，HB=CD=6．
∴AH=2，AD=2．
∵AP=x，
∴PH=x﹣2，
情況①：當(dāng)AP=AD時(shí)，即x=2．
情況②：當(dāng)AD=PD時(shí)，則AH=PH．
∴2=x﹣2，解得x=4．
情況③：當(dāng)AP=PD時(shí)，
則Rt△DPH中，x²=4²+（x﹣2）²，解得x=5．
∵2＜x＜8，
∴當(dāng)x為2、4、5時(shí)，△APD是等腰三角形．
（2）∵∠DPE=∠DHP=90°，
∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°．
∴∠HDP=∠EPB．
又∵∠DHP=∠B=90°，
∴△DPH∽△PEB．
∴，
∴．
整理得：y=（x﹣2）（8﹣x）=﹣x²+x﹣4；
（3）存在．
設(shè)BC=a，則由（2）得△DPH∽△PEB，
∴，
∴y=，
當(dāng)y=a時(shí)，
（8﹣x）（x﹣2）=a²
x²﹣10x+（16+a²）=0，
∴△=100﹣4（16+a²），
∵△≥0，
∴100﹣64﹣4a²≥0，
4a²≤36，
又∵a＞0，
∴a≤3，
∴0＜a≤3，
∴滿(mǎn)足0＜BC≤3時(shí)，存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過(guò)C．