Question

【題目】已知拋物線y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．

（1）證明：該拋物線與x軸總有兩個不同的交點(diǎn)；

（2）設(shè)該拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)分別為A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，A，B，C三點(diǎn)都在⊙P上．

①試判斷：不論m取任何正數(shù)，⊙P是否經(jīng)過y軸上某個定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由；

②若點(diǎn)C關(guān)于直線x的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)D（0，1），連接BE，BD，DE，△BDE的周長記為l，⊙P的半徑記為r，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1）；②．

【解析】

（1）令y=0，再求出判別式，判斷即可得出結(jié)論；

（2）先求出OA=2，OB=m+2，OC=2（m+2），

①判斷出∠OCB=∠OAF，求出tan∠OCB=，即可求出OF=1，即可得出結(jié)論；

②先設(shè)出BD=n，再判斷出∠DCE=90°，得出DE是⊙P的直徑，進(jìn)而求出BE=2n，DE=n，即可得出結(jié)論．

（1）令y＝0，則x2+mx﹣2m﹣4＝0，

∴△＝m2﹣4[﹣2m﹣4]＝m2+8m+16，

∵m＞0，

∴△＞0，

∴該拋物線與x軸總有兩個不同的交點(diǎn)；

（2）令y＝0，則x2+mx﹣2m﹣4＝0，

∴（x﹣2）[x+（m+2）]＝0，

∴x＝2或x＝﹣（m+2），

∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），

∴OA＝2，OB＝m+2，

令x＝0，則y＝﹣2（m+2），

∴C（0，﹣2（m+2）），

∴OC＝2（m+2），

①通過定點(diǎn)（0，1）理由：如圖，

∵點(diǎn)A，B，C在⊙P上，

∴∠OCB＝∠OAF，

在Rt△BOC中，tan∠OCB，

在Rt△AOF中，tan∠OAF，

∴OF＝1，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1）；

②如圖1，

由①知，點(diǎn)F（0，1）．

∵D（0，1），

∴點(diǎn)D在⊙P上，

∵點(diǎn)E是點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)，

∴∠DCE＝90°，

∴DE是⊙P的直徑，

∴∠DBE＝90°，

∵∠BED＝∠OCB，

∴tan∠BED，

設(shè)BD＝n，在Rt△BDE中，tan∠BED，

∴BE＝2n，根據(jù)勾股定理得：DEn，

∴l＝BD+BE+DE＝（3）n，rDEn，

∴．