Question

設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)為a，b，c，其中a，b是方程x²-（c+2）x+2（c+1）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）判斷△ABC是否為直角三角形？是說明理由．
（2）若△ABC是等腰三角形，求a，b，c的值．

Answer 1

解：（1）△ABC是直角三角形．理由如下：
根據(jù)題意得a+b=c+2，ab=2（c+1）=2c+2，
∴（a+b）²=（c+2）²，即a²+2ab+b²=c²+4c+4，
∴a²+4c+4+b²=c²+4c+4，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC是以c為斜邊的直角三角形；
（2）∵△ABC是等腰三角形，
∴a=b，且c=a，
∴a+a=a+2，
∴a=2+，
∴b=2+，
c=2+2．
分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=c+2，ab=2（c+1）=2c+2，把第一個(gè)等式兩邊平方，整理可得到a²+b²=c²，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是以c為斜邊的直角三角形；
（2）由于△ABC是等腰直角三角形，則a=b，且c=a，利用a+b=c+2可計(jì)算出a，于是可得到b、c的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了勾股定理的逆定理和等腰直角三角形性質(zhì)．