Question

如圖，已知四邊形ABCD、DEFG均為正方形，
（1）求證：AE=CG，且AE⊥CG；
（2）若正方形ABCD、DEFG的邊長(zhǎng)分別是3和2，∠ADG=30°，求四邊形ACEG的面積．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD、GDEF為正方形，
∴CD=AD，GD=DE，
∠CDA=∠EDG=90°，
∴∠CDA+∠ADG=∠GDE+∠ADG，
即：∠CDG=∠ADE，
∴在△CDG和△ADE中，
，
∴△CDG≌△ADE，
∴∠1=∠4，AE=CG，又∠2=∠3，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠GOE=90°，CG⊥AE．

（2）解：S_△ACEG=S_△ADG+S_△ACD+S_△GDE+S_△CDE，
過(guò)G作GH⊥AD于H，過(guò)E作EM⊥CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于M．
則在Rt△GHD中，GH=DG•sin30°=2×，
∴，
，
，
∵CM⊥AD，∠ADG=30°，
∴∠GDM=60°，又GD⊥DE，
∴在Rt△MDE中，EM=ED•sin30°=2×=1，
．
S_△ACEG=S_△ADG+S_△ACD+S_△GDE+S_△CDE=9.5，
法2：設(shè)AE、CG相交于點(diǎn)O，過(guò)G作GH⊥CD交其延長(zhǎng)線(xiàn)于H．
S_{四邊形ACEG}=S_△ACG+S_△CEG
=
=
=．
∵∠ADH=90°，∠ADG=30°，
∴∠GDH=60°，又GH⊥DH，
∴在Rt△GDH中，∠DGH=30°，
則DH=，
∴CH=4．
Rt△CHG中，，
∴．
分析：（1）根據(jù)正方的性質(zhì)和全等三角形的判定得出△CDG≌△ADE，便可輕松得出結(jié)論；
（2）將S_△ACEG分解為S_△ADG、S_△ACD、S_△GDE、S_△CDE的面積來(lái)求．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是觀(guān)察出△CDG和△ADE的兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊分別為正方形ABCD、GDEF的邊，從而證出兩個(gè)三角形全等．