Question

【題目】已知菱形OABC的邊長(zhǎng)為5，且tan∠AOC＝，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A、E的拋物線y＝ax2+bx+c與邊AB交于點(diǎn)D．

（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）連結(jié)DE，將△BDE沿著DE翻折．

①當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在線段AC上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②連接OB、BB'，請(qǐng)直接寫出此時(shí)該拋物線二次項(xiàng)系數(shù)a＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）A（3，4），E（，2）；

（2）①D（）或D（）．②．

【解析】

（1）過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為F,由條件可得OF＝3，AF＝4，則A點(diǎn)坐標(biāo)可求出，求出B，C的坐標(biāo)，則E點(diǎn)坐標(biāo)可求出；

（2）①求出直線AC的解析式為y＝﹣2x+10，設(shè)D（m，4），由BD＝B'D可得m的方程，則D點(diǎn)坐標(biāo)可求出；

②拋物線y＝ax2+bx+c過點(diǎn)A，E，D三點(diǎn)，由待定系數(shù)法可求出a的值．

解：（1）如圖，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為F，

∵OA＝5，且tan∠AOC＝，

∴OF＝3，AF＝4，即A（3，4），

又∵四邊形OABC為菱形，

∴OA＝OC＝BC＝AB＝5，

∴B（8，4），C（5，0），

∴E（，2），

（2）①設(shè)AC：y＝kx+m，把A（3，4）和C（5，0）代入得

k＝﹣2，m＝10，

∴y＝﹣2x+10，

設(shè)B'（x，﹣2x+10），由BE＝B'E可得（6.5﹣x）2+（2x﹣8）2＝2.52，

解得x＝4或x＝5，

∴B'（4，2）或（5，0），

設(shè)D（m，4），由BD＝B'D可得（m﹣4）2+4＝（8﹣m）2或（m﹣5）2+16＝（8﹣m）2，

解得m1=，m2＝

∴D（）或D（）．

②若拋物線y＝ax2+bx+c過點(diǎn)A（3，4），E（，2），D（，4），

∴解得a=-，

若拋物線y＝ax2+bx+c過點(diǎn)A（3，4），E（，2），D（4），

∴，解得a＝．

故答案為：．