Question

 已知：在矩形ABCD中，E為邊BC上的一點，AE⊥DE，AB=12，BE=，F為線段BE上一點，EF=7，連接AF。如圖1，現有一張硬紙片△GMN，∠NGM=90⁰，NG=6，MG=，斜邊MN與邊BC在同一直線上，點N與點E重合，點G在線段DE上。如圖2，△GMN從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿EB向點B勻速移動，同時，點P從A點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿AD向點D勻速移動，點Q為直線GN與線段AE的交點，連接PQ。當點G到達線段AE上時，△GMN和點P同時停止運動。設運動時間為t秒，解答問題：

（1）在整個運動過程中，當點G在線段AE上時，求t的值；

（2）在整個運動過程中，是否存在點P，使△APQ是直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）∵∠NGM=90⁰，NG=6，MG=，

∴由勾股定理，得NM=12。

當點G在線段AE上時，如圖，

此時，GG′=MN=12。

∵△GMN從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿EB向點B勻速移動，

∴t=12秒。

（2）存在。

    由∠NGM=90⁰，NG=6，MG=，得∠NMG=30⁰，

由矩形ABCD中，AB=12，BE=，得AE=24，∠AEB=30⁰。

∴AE∥GM。

由（1）知，當0＜t≤12時，線段GN與線段AE相交，

②若∠AQP=90⁰，如圖2，過點Q作QH⊥BC于點H，交AD于點I。

根據題意，知AP=2 t ，EN=t，

由①知，。

在△APQ中，PQ=，AQ=

由，得，解得。

∵IH=AB=12，

∴，解得。

∴，∴當時，△APQ是直角三角形。

綜上所述，存在或，使△APQ是直角三角形。

【考點】單動點和面動問題，勾股定理，矩形的性質，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值，直角三角形的判定，分類思想的應用。

【分析】（1）由勾股定理，求出MN的長，點Q運動到AE上時的距離MN的長，從而除以速度即得t的值。

   （2）分∠APQ=90⁰，和∠AQP=90⁰兩種情況討論即可。