Question

（2002•常州）已知：在菱形ABCD中，∠BAD=60°，把它放在直角坐標(biāo)系中，使AD邊在y軸上，點C的坐標(biāo)為（）
（1）畫出符合題目條件的菱形與直角坐標(biāo)系．
（2）寫出A，B兩點的坐標(biāo)．
（3）設(shè)菱形ABCD的對角線的交點為P，問：在y軸上是否存在一點F，使得點P與點F關(guān)于菱形ABCD的某條邊所在的直線對稱，如果存在，寫出點F的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可分兩種情況，如圖；
（2）過C作CF⊥y軸于F，∠CDF=60°，CF=2，因此DF=2，CD=4．因此OA=OF-AF=8-（4+2）=2，因此A點坐標(biāo)為（0，2）．由于菱形的邊長為4，因此將C點坐標(biāo)向下平移4個單位就是B點的坐標(biāo)（2，4）；
（3）在（2）中所作的F點其實就是P點關(guān)于CD的對稱點，理由：根據(jù)菱形的性質(zhì)可知：∠FAC=30°，因此在直角三角形FAC中，F(xiàn)C=AC=PC，而∠DCF=∠DCP=30°，因此△CFE≌△CPE，因此CD垂直平分PF，即可得出P、F關(guān)于CD對稱．
解答：解：本題有兩種情況：
第一種情況：（1）畫圖，如圖所示．

（2）過C作CF⊥y軸于F，∠CDF=60°，CF=2，
∵tan60°==，
=，
∴DF=2，
CD=4．因此OA=OF-AF=8-（4+2）=2，因此A點坐標(biāo)為（0，2）．
由于菱形的邊長為4，因此將C點坐標(biāo)向下平移4個單位就是B點的坐標(biāo)（2，4）；
則A（0，2），B（2，4）．
（3）F（0，8）；

第二種情況：（1）畫圖，如圖所示．

（2）A′（0，14），B′（2，12）
（3）F′（0，4）．
點評：本題主要考查了菱形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、軸對稱圖形等知識點．