Question

我市某鎮(zhèn)的一種特產(chǎn)由于運(yùn)輸原因，長(zhǎng)期只能在當(dāng)?shù)劁N售．當(dāng)?shù)卣�府�?duì)該特產(chǎn)的銷售投資收益為：每投入x萬元，可獲得利潤(rùn)P=-

1

100

(x-60)2+41（萬元）．當(dāng)?shù)卣�府�(dāng)M在“十二•五”規(guī)劃中加快開發(fā)該特產(chǎn)的銷售，其規(guī)劃方案為：在規(guī)劃前后對(duì)該項(xiàng)目每年最多可投入100萬元的銷售投資，在實(shí)施規(guī)劃5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路，兩年修成，通車前該特產(chǎn)只能在當(dāng)?shù)劁N售；公路通車后的3年中，該特產(chǎn)既在本地銷售，也在外地銷售．在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤(rùn)Q=-

99

100

(100-x)2+

294

5

(100-x)+160（萬元）．
（1）若不進(jìn)行開發(fā)，求5年所獲利潤(rùn)的最大值是多少？
（2）若按規(guī)劃實(shí)施，求5年所獲利潤(rùn)（扣除修路后）的最大值是多少？
（3）根據(jù)（1）、（2），該方案是否具有實(shí)施價(jià)值？

Answer 1

分析：（1）由可獲得利潤(rùn)P=-

1

100

（x-60）²+41（萬元），即可知當(dāng)x=60時(shí)，P最大，最大值為41，繼而求得5年所獲利潤(rùn)的最大值；
（2）首先求得前兩年的獲利最大值，注意前兩年：0≤x≤50，此時(shí)因?yàn)镻隨x的增大而增大，所以x=50時(shí)，P值最大；然后后三年：設(shè)每年獲利y，設(shè)當(dāng)?shù)赝顿Y額為a，則外地投資額為100-a，即可得函數(shù)y=P+Q=[-

1

100

（a-60）²+41]+[-

99

100

a²+

294

5

a+160]，整理求解即可求得最大值，則可求得按規(guī)劃實(shí)施，5年所獲利潤(rùn)（扣除修路后）的最大值；
（3）比較可知，該方案是具有極大的實(shí)施價(jià)值．

解答：解：（1）∵每投入x萬元，可獲得利潤(rùn)P=-

1

100

（x-60）²+41（萬元），
∴當(dāng)x=60時(shí)，所獲利潤(rùn)最大，最大值為41萬元，
∴若不進(jìn)行開發(fā)，5年所獲利潤(rùn)的最大值是：41×5=205（萬元）；

（2）前兩年：0≤x≤50，此時(shí)因?yàn)镻隨x的增大而增大，
所以x=50時(shí)，P值最大，即這兩年的獲利最大為：2×[-

1

100

（50-60）²+41]=80（萬元），
后三年：設(shè)每年獲利y，設(shè)當(dāng)?shù)赝顿Y額為a，則外地投資額為100-a，
∴Q=-

99

100

[100-（100-a）]²+

294

5

[100-（100-a）]+160=-

99

100

a²+

294

5

a+160，
∴y=P+Q=[-

1

100

（a-60）²+41]+[-

99

100

a²+

294

5

a+160]=-a²+60a+165=-（a-30）²+1065，
∴當(dāng)a=30時(shí)，y最大且為1065，
∴這三年的獲利最大為1065×3=3195（萬元），
∴5年所獲利潤(rùn)（扣除修路后）的最大值是：80+3195-50×2=3175（萬元）．

（3）有很大的實(shí)施價(jià)值．
規(guī)劃后5年總利潤(rùn)為3175萬元，不實(shí)施規(guī)劃方案僅為205萬元，故具有很大的實(shí)施價(jià)值．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題．解題的關(guān)鍵是理解題意，找到合適函數(shù)取得最大值，是解此題的關(guān)鍵，還要注意后三年的最大值的求解方法．