Question

14．在數(shù)軸上，把表示數(shù)1的點(diǎn)稱為基準(zhǔn)點(diǎn)，記作點(diǎn)$\stackrel{•}{O}$．對(duì)于兩個(gè)不同的點(diǎn)M和N，若點(diǎn)M、點(diǎn)N到點(diǎn)$\stackrel{•}{O}$的距離相等，則稱點(diǎn)M與點(diǎn)N互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)．例如：圖1中，點(diǎn)M表示數(shù)-1，點(diǎn)N表示數(shù)3，它們與基準(zhǔn)點(diǎn)$\stackrel{•}{O}$的距離都是2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)M與點(diǎn)N互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)．
（1）已知點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，點(diǎn)A與點(diǎn)B互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)．
①若a=0，則b=2；若a=4，則b=-2；
②用含a的式子表示b，則b=2-a；
（2）對(duì)點(diǎn)A進(jìn)行如下操作：先把點(diǎn)A表示的數(shù)乘以$\frac{5}{2}$，再把所得數(shù)表示的點(diǎn)沿著數(shù)軸向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B．若點(diǎn)A與點(diǎn)B互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)，則點(diǎn)A表示的數(shù)是$\frac{10}{7}$；
（3）點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左邊，點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為8個(gè)單位長(zhǎng)度．對(duì)P、Q兩點(diǎn)做如下操作：點(diǎn)P沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)k（k＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到P₁，P₂為P₁的基準(zhǔn)變換點(diǎn)，點(diǎn)P₂沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)k個(gè)單位長(zhǎng)度得到P₃，P₄為P₃的基準(zhǔn)變換點(diǎn)，…，依此順序不斷地重復(fù)，得到P₅，P₆，…，P_n．Q₁為Q的基準(zhǔn)變換點(diǎn)，將數(shù)軸沿原點(diǎn)對(duì)折后Q₁的落點(diǎn)為Q₂，Q₃為Q₂的基準(zhǔn)變換點(diǎn)，將數(shù)軸沿原點(diǎn)對(duì)折后Q₃的落點(diǎn)為Q₄，…，依此順序不斷地重復(fù)，得到Q₅，Q₆，…，Q_n．若無論k為何值，P_n與Q_n兩點(diǎn)間的距離都是4，則n=4或12．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)的定義可得出a+b=2，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；②根據(jù)a+b=2，變換后即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)為x，根據(jù)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)找出點(diǎn)B，結(jié)合互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)的定義即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)點(diǎn)P_n與點(diǎn)Q_n的變化找出變化規(guī)律“P_4n=m、Q_4n=m+8-4n”，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得出關(guān)于n的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①∵點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，點(diǎn)A與點(diǎn)B互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)，
∵a+b=2．
當(dāng)a=0時(shí)，b=2；當(dāng)a=4時(shí)，b=-2．
故答案為：2；-2．
②∵a+b=2，
∴b=2-a．
故答案為：2-a．
（2）設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)為x，
根據(jù)題意得：$\frac{5}{2}$x-3+x=2，
解得：x=$\frac{10}{7}$．
故答案為：$\frac{10}{7}$．
（3）設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為m，則點(diǎn)Q表示的數(shù)為m+8，
由題意可知：P₁表示的數(shù)為m+k，P₂表示的數(shù)為2-（m+k），P₃表示的數(shù)為2-m，P₄表示的數(shù)為m，P₅表示的數(shù)為m+k，…，
Q₁表示的數(shù)為-m-6，Q₂表示的數(shù)為m+6，Q₃表示的數(shù)為-m-4，Q₄表示的數(shù)為m+4，Q₅表示的數(shù)為-m-2，Q₆表示的數(shù)為m+2，…，
∴P_4n=m，Q_4n=m+8-4n．
令|m-（m+8-4n）|=4，即|8-4n|=4，
解得：4n=4或4n=12．
故答案為：4或12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了規(guī)律型中圖形的變化類、數(shù)軸以及解一元一次方程，根據(jù)互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)的定義找出a+b=2是解題的關(guān)鍵．