Question

如圖，矩形ABCD中，∠ACB=30°，將一塊直角三角板的直角頂點P放在兩對角線AC，BD的交點處，以點P為旋轉中心轉動三角板，并保證三角板的兩直角邊分別于邊AB，BC所在的直線相交，交點分別為E，F．
（1）當PE⊥AB，PF⊥BC時，如圖1，則的值為______

Answer 1

【答案】分析：（1）證明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值；
（2）如答圖1所示，作輔助線，構造直角三角形，證明△PME∽△PNF，并利用（1）的結論，求得的值；
（3）如答圖2所示，作輔助線，構造直角三角形，首先證明△APM∽△PCN，求得的值；然后證明△PME∽△PNF，從而由求得的值．與（1）（2）問相比較，的值發(fā)生了變化．
解答：解：（1）∵矩形ABCD，
∴AB⊥BC，PA=PC；
∵PE⊥AB，BC⊥AB，
∴PE∥BC，
∴∠APE=∠PCF；
∵PF⊥BC，AB⊥BC，
∴PF∥AB，
∴∠PAE=∠CPF．
∵在△APE與△PCF中，

∴△APE≌△PCF（ASA），
∴PE=CF．
在Rt△PCF中，=tan30°=，
∴=．

（2）如答圖1，過點P作PM⊥AB于點M，PN⊥BC于點N，則PM⊥PN．

∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM=∠FPN，
又∵∠PME=∠PNF=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴．
由（1）知，=，
∴=．

（3）答：變化．
證明：如答圖2，過點P作PM⊥AB于點M，PN⊥BC于點N，則PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB．

∵PM∥BC，PN∥AB，
∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN，
∴△APM∽△PCN，
∴，得CN=2PM．
在Rt△PCN中，=tan30°=，∴=．
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM=∠FPN，
又∵∠PME=∠PNF=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴=．
∴的值發(fā)生變化．
點評：本題是幾何綜合題，考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、全等三角形的判定與性質、解直角三角形等知識點．本題三問的解題思路是一致的：即都是直接或作輔助線構造直角三角形，通過相似三角形或全等三角形解決問題．