Question

在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長CA，CB到點(diǎn)E，F(xiàn)，使DE=DF；過E，F(xiàn)分別作CA，CB的垂線，相交于P．求證：∠PAE=∠PBF．

Answer 1

【答案】分析：取AP、BP的中點(diǎn)，并連接EM、DM、FN、DN，根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)易證得△DEM≌△FDN，即可得各角的關(guān)系．即可證得結(jié)論．
解答：解：如圖，分別取AP、BP的中點(diǎn)M、N，并連接EM、DM、FN、DN．
根據(jù)三角形中位線定理可得：DM∥BP，DM=BP=BN，DN∥AP，DN=AP=AM，
∴∠AMD=∠APB=∠BND，
∵M(jìn)、N分別為直角三角形AEP、BFP斜邊的中點(diǎn)，
∴EM=AM=DN，F(xiàn)N=BN=DM，
已知DE=DF，
∴△DEM≌△FDN（SSS），
∴∠EMD=∠FND，
∴∠AME=∠BNF，
∴△AME、△BNF為頂角相等的等腰三角形，
∴∠PAE=∠PBF．
點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，涉及到直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，是一道難度較大的綜合題型，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．