Question

已知，如圖，a，b，c分別是△ABC中∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，P為BC上一點(diǎn)，以AP為直徑的圓O交AB于D，PE∥AB交AC于E，b，c是方程x²+kx+9=0的兩根，且（b²+c²）（b²+c²-14）-72=0，銳角B的正弦值等于

2

3

2

．
（1）求k的值；
（2）設(shè)BD=x，求四邊形ADPE的面積為S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）問(wèn)圓O是否能與BC相切？若能請(qǐng)求出x的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求出b²+c²=18，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出b+c=-k，bc=9，代入得出方程（-k）²-2×9=18，求出即可；
（2）求出方程的解，得出AB=AC=3，根據(jù)sinB=

PD

PB

=

2 2

3

，設(shè)PD=2

2

y，PD=3y，在Rt△BDP中，由勾股定理求出y=x，得出PD=2

2

x，PB=3x，求出BC，根據(jù)△CPE∽△CBA，得出比例式求出PE，代入S=

1

2

（PE+AD）×PD求出即可；
（3）根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，當(dāng)∠APB=90°時(shí)，圓O能與BC相切，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出BD=DC=

1

2

，根據(jù)PB=3x=

1

2

求出即可．

解答：（1）解：∵（b²+c²）（b²+c²-14）-72=0，
∴（b²+c²）²-14（b²+c²）-72=0，
解得：b²+c²=18，b²+c²=-4（舍去），
∵b，c是方程x²+kx+9=0的兩根，
∴b+c=-k，bc=9，
∴b²+c²=（b+c）²-2bc=18，
即（-k）²-2×9=18，
解得：k=6，k=-6，
∵b+c=-k，c、b是三角形的邊長(zhǎng)，
∴k=6舍去，
即k=-6；

（2）解：把k=-6代入方程得：x²-6x+9=0，
解得：x₁=x₂=3，
即b=c=3，
AB=AC=3，
∵AP是直徑，
∴∠ADP=90°=∠BDP，
∵sinB=

2

3

2

，
∴

PD

PB

=

2 2

3

，
設(shè)PD=2

2

y，BD=3y，在Rt△BDP中，由勾股定理得：PD²+BD²=PB²，
即(2

2

y)2+x²=（3y）²，
解得：y=x，
PD=2

2

x，PB=3x，
過(guò)A作AN⊥BC于N，
∵AB=3，sinB=

AN

AB

=

2

3

2

，
∴AN=2

2

，
由勾股定理得：BN=1，
∵AB=AC，AN⊥BC，
∴CN=BN=1，
BC=2，
∵PE∥AB，
∴△CPE∽△CBA，
∴

PE

BA

=

CP

BC

，
∴

PE

3

=

2-3x

2

，
∴PE=-

9

2

x+3，
∴四邊形ADPE的面積S=

1

2

（PE+AD）×PD=

1

2

×（

9

2

x+3+3-x）×2

2

x=

7

2

2

x²+3

2

x，
答：四邊形ADPE的面積為S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是S=

7

2

2

x²+3

2

x．

（3）解：圓O能與BC相切，
理由是：根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，當(dāng)∠APB=90°時(shí)，圓O能與BC相切，
∵AP是直徑，
∴∠ADP=90°，
∵AC=AB=3，BC=2，
∴BD=DC=1，
由（2）知：PB=3x=1，
x=

1

3

，
答：圓O能與BC相切，x的值是

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．