Question

如圖，在邊長(zhǎng)為12cm的等邊三角形ABC中，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以每秒鐘1cm的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以每秒鐘2cm的速度移動(dòng)．若P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，其中任意一點(diǎn)到達(dá)目的地后，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，求：
（1）經(jīng)過(guò)6秒后，BP=______ cm，BQ=______cm；
（2）經(jīng)過(guò)幾秒后，△BPQ是直角三角形？
（3）經(jīng)過(guò)幾秒△BPQ的面積等于cm²？

Answer 1

解：（1）由題意，得
AP=6cm，BQ=12cm．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=12cm，
∴BP=12-6=6cm．

（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°，
當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ．
∵BP=12-x，BQ=2x，
∴12-x=2×2x，
∴x=，
當(dāng)∠QPB=90°時(shí)，
∴∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
∴2x=2（12-x），
x=6
答6秒 或秒時(shí)，△BPQ是直角三角形；

（3）作QD⊥AB于D，
∴∠QDB=90°，
∴∠DQB=30°，
∴DB=BQ=x，
在Rt△DBQ中，由勾股定理，得
DQ=x，
∴，
解得；x₁=10，x₂=2，
∵x=10時(shí)，2x＞12，故舍去
∴x=2．
答：經(jīng)過(guò)2秒△BPQ的面積等于cm²．
故答案為：6、12．
分析：（1）根據(jù)路程=速度×?xí)r間，求出BQ，AP的值就可以得出結(jié)論；
（2）先分別表示出BP，BQ的值，當(dāng)∠BQP和∠BPQ分別為直角時(shí)，由等邊三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論；
（3）作QD⊥AB于D，由勾股定理可以表示出DQ，然后根據(jù)面積公式建立方程求出其解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，30°的直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)建立根據(jù)三角形的面積公式建立一元二次方程求解是關(guān)鍵．