Question

已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．
(1)如圖1，P為AB邊上的一點(diǎn)，以PD、PC為邊作□PCQD，請(qǐng)問對(duì)角線PQ，DC的長(zhǎng)能否相等，為什么？
(2)如圖2，若P為AB邊上一點(diǎn)，以PD，PC為邊作□PCQD，請(qǐng)問對(duì)角線PQ的長(zhǎng)是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．
(3)若P為AB邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PD到E，使DE＝PD，再以PE、PC為邊作□PCQE，請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．
(4)如圖3，若P為DC邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PA到E，使AE＝nPA(n為常數(shù))，以PE、PB為邊作□PBQE，請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）∵四邊形PCQD是平行四邊形，若對(duì)角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，
∴∠DPC＝90°，
∵AD＝1，AB＝2，BC＝3，
∴DC＝2，
設(shè)PB＝x，則AP＝2－x，
在Rt△DPC中，PD2＋PC2＝DC2，
即x²＋3²＋(2－x)²＋1＝8，化簡(jiǎn)得x²－2x＋3＝0，
∵△＝(－2)²－4×1×3＝－8＜0，
∴方程無解，
∴對(duì)角線PQ與DC不可能相等．
（2）在平行四邊形PCQD中，設(shè)對(duì)角線PQ與DC相交于點(diǎn)G，
則G是DC的中點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QH∥BC，交BC的延長(zhǎng)線于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC＝∠DCQ，
∴∠ADP＝∠QCH，
又∵PD＝CQ，
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，
∴AD＝HC，
∴AD＝1，BC＝3，BH＝4，
∴當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，即為4．
（3）設(shè)PQ與DC相交于點(diǎn)G，PE∥CQ，PD＝DE，
∴＝＝，G是DC上一定點(diǎn)，作QH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于H，
同理可證∠ADP＝∠QCH，
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，即＝＝，
∴CH＝2，
∵BH＝BG＋CH＝3＋2＝5，
∴當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，即為5．
(4)：設(shè)PQ與AB相交于點(diǎn)G，
∵PE∥BQ，AE＝nPA，
∴＝，
∴G是DC上一定點(diǎn)，作QH∥PE，交CB的延長(zhǎng)線于H，
過點(diǎn)C作CK⊥CD，交QH的延長(zhǎng)線于K，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠D＝∠QHC，
∠DAP＋∠PAG＝∠QBH＋∠QBG＝90°，∠PAG＝∠QBG，
∴∠QBH＝∠PAD，
∴△ADP≌△BHQ，
∴，
∵AD＝1，
∴BH＝n＋1，CH＝BH＋BC＝3＋n＋1＝n＋4，
過點(diǎn)D作DM⊥BC于M，則四邊形ABND是矩形，
∴BM＝AD＝1，DM＝AB＝2×CM＝BC－BM＝3－1＝2＝DM，
∴∠DCM＝45°，
∴∠KCH＝45°，CK＝CHcos45°＝(n＋4)，
∴當(dāng)PQ⊥CD時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，最小值為(n＋4)．