Question

如圖，設(shè)P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=4，PB=5，PC=3．則△ABC的邊長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：

分析：首先將△BCP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ACQ，連接PQ．再過A作CP的延長(zhǎng)線的垂線AD，垂足為D，易證得△PCQ是等邊三角形，△APQ是直角三角形，則可求得∠APC的度數(shù)，然后可求得∠APD的度數(shù)，在Rt△APD中，即可求得AD與CD的長(zhǎng)，繼而求得AC．

解答：解：將△BCP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ACQ，連接PQ．再過A作CP的延長(zhǎng)線的垂線AD，垂足為D，
∴AQ=PB=5，CQ=PC，∠PCQ=60°，
∴△PCQ是等邊三角形，
∴PQ=PC=3，∠QPC=60°，
在△PAQ中，∵PA=4，AQ=5，PQ=3，
∴AQ²=PA²+PQ²，
∴∠APQ=90°，
∴∠APC=∠APQ+∠QPC=150°，
∴∠APD=30°，
在Rt△APD中，AD=

1

2

PA=2，PD=AP•cos30°=2

3

，
則CD=PC+PD=3+2

3

，
在Rt△ACD中，AC²=AD²+CD²=4+（3+2

3

）²=25+12

3

，則AC=

25+12 3

．
故答案是：

25+12 3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．