Question

已知關(guān)于x的一元二次方程2x²+4x+k-1=0有實(shí)數(shù)根，k為正整數(shù)．
（1）求k的值；
（2）當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=2x²+4x+k-1的圖象向下平移8個(gè)單位，求平移后的圖象的解析式；
（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象．請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線y=

1

2

x+b（b＜k）與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）綜合根的判別式及k的要求求出k的取值；
（2）對(duì)k的取值進(jìn)行一一驗(yàn)證，求出符合要求的k值，再結(jié)合拋物線平移的規(guī)律寫出其平移后的解析式；
（3）求出新拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再分別求出直線y=

1

2

x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B時(shí)的b的取值，進(jìn)而求出其取值范圍．本題第二問(wèn)是難點(diǎn)，主要是不會(huì)借助計(jì)算淘汰不合題意的k值．

解答：解：（1）由題意得，△=16-8（k-1）≥0．
∴k≤3．
∵k為正整數(shù)，
∴k=1，2，3；

（2）設(shè)方程2x²+4x+k-1=0的兩根為x₁，x₂，則
x₁+x₂=-2，x₁•x₂=

k-1

2

．
當(dāng)k=1時(shí)，方程2x²+4x+k-1=0有一個(gè)根為零；
當(dāng)k=2時(shí)，x₁•x₂=

1

2

，方程2x²+4x+k-1=0沒(méi)有兩個(gè)不同的非零整數(shù)根；
當(dāng)k=3時(shí)，方程2x²+4x+k-1=0有兩個(gè)相同的非零實(shí)數(shù)根-1．
綜上所述，k=1和k=2不合題意，舍去，k=3符合題意．
當(dāng)k=3時(shí)，二次函數(shù)為y=2x²+4x+2，把它的圖象向下平移8個(gè)單位得到的圖象的解析式為y=2x²+4x-6；

（3）設(shè)二次函數(shù)y=2x²+4x-6的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，則A（-3，0），B（1，0）．
依題意翻折后的圖象如圖所示．
當(dāng)直線y=

1

2

x+b經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，可得b=

3

2

；
當(dāng)直線y=

1

2

x+b經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，可得b=-

1

2

．
由圖象可知，符合題意的b（b＜3）的取值范圍為-

1

2

＜b＜

3

2

．

（3）依圖象得，要圖象y=

1

2

x+b（b小于k）與二次函數(shù)圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，顯然有兩段．
而因式分解得y=2x²+4x-6=2（x-1）（x+3），
第一段，當(dāng)y=

1

2

x+b過(guò)（1，0）時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)b=-

1

2

．
當(dāng)y=

1

2

x+b過(guò)（-3，0）時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)b=

3

2

．而在此中間即為兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)-

1

2

＜b＜

3

2

．
第二段，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折后，
開口向下的部分的函數(shù)解析式為y=-2（x-1）（x+3）． 顯然，
當(dāng)y=

1

2

x+b與y=-2（x-1）（x+3）（-3＜x＜1）相切時(shí)，y=

1

2

x+b與這個(gè)二次函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，若直線再向上移，則只有兩個(gè)交點(diǎn)．
因?yàn)閎＜3，而y=

1

2

x+b（b小于k，k=3），所以當(dāng)b=3時(shí)，將y=

1

2

x+3代入二次函數(shù)y=-2（x-1）（x+3）整理得，
4x²+9x-6=0，△＞0，所以方程有兩根，那么肯定不將有直線與兩截結(jié)合的二次函數(shù)圖象相交只有兩個(gè)公共點(diǎn)．這種情況故舍去．
綜上，-

1

2

＜b＜

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：考查知識(shí)點(diǎn)：一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)及函數(shù)圖象的平移與翻折，最后還考到了與一次函數(shù)的結(jié)合等問(wèn)題．不錯(cuò)的題目，難度不大，綜合性強(qiáng)，考查面廣，似乎是一個(gè)趨勢(shì)或熱點(diǎn)．