Question

如圖，直角梯形OABC的一頂點O是坐標原點，邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA∥BC，D是BC上一點，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E、F分別是線段OA、AB上的兩動點，且始終保持∠DEF=45°．

（1）直接寫出D點的坐標；
（2）設OE=x，AF=y，試確定y與x之間的函數關系；
（3）當△AEF是等腰三角形時，求y的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點B作BF⊥OA于F，由∠OAB=45°，AB=3，即可求得BF與AF的值，又由BD=OA=，即可求得CD的長，則可求得D點的坐標；
（2）首先連接OD，由結論（1）知：D在∠COA的平分線上，可得∠DOE=∠COD=45°，又由∠1=∠2，可判定△ODE∽△AEF，根據相似三角形的對應邊成比例，即可得到y(tǒng)與x之間的函數關系；
（3）當△AEF為等腰三角形時，存在EF=AE或AF=AE或EF=AF共3種情況，分別從這三種情況去分析，利用相似三角形的性質，等腰直角三角形的性質以及矩形的性質求解，即可求得答案．
解答：解：（1）如圖（1），過點B作BM⊥OA于M，
∵∠OAB=45°，
∴AM=BM=AB•sin∠OAB=3×=，
∵BD=OA=，
∴OA=4，
∴CD=BC-BD=OM-BD=4--=，
∴D點的坐標是．（2分）

（2）連接OD，如圖（2），由結論（1）知：D在∠COA的平分線上，
則∠DOE=∠COD=45°，
又∵在梯形DOAB中，∠BAO=45°，
∴OD=AB=3，
由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-∠DOE=∠DEA-45°，
又∵∠2=∠DEA-45°，
∴∠1=∠2，
∴△ODE∽△AEF，
∴，
即：
∴y與x的解析式為：y=-x²+x；（6分）

（3）當△AEF為等腰三角形時，存在EF=AE或AF=AE或EF=AF共3種情況．
①當EF=AE時，如圖（3），
∴∠EFA=∠DEF=45°，
∴DE∥AB，
又∵DB∥EA，
∴四邊形DEAB是平行四邊形，
∴AE=DB=，
∴AF=AE=2，
∴y=2；
②當AF=AE時，如圖（4），連接OD，
由（2）知△ODE∽△AEF，
則，
即，
則3y=4x-x²，①，
又OE+AE=4，即x+y=4②，
聯(lián)立①②解得：y=4-3；
③當EF=AF時，如圖（5）．∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°，
∴△AEF為等腰直角三角形．
∴∠AEF=45°，
∵∠DEF=45°，
∴∠DEA=90°，
∴四邊形COED是矩形，
∴OE=CD=，
∴AE=4-=，
∴AF=AE•sin45°=；
∴當△AEF為等腰三角形時，y的值為2或4-3或．（12分）
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、直角梯形的性質、矩形的判定與性質、等腰直角三角形的性質以及三角函數等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想、方程思想與分類討論思想的應用，注意準確作出輔助線．