Question

如圖，直角梯形OABC的一頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA∥BC，D是BC上一點(diǎn)，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E、F分別是線段OA、AB上的兩動(dòng)點(diǎn)，且始終保持∠DEF=45°．

（1）直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)OE=x，AF=y，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）當(dāng)△AEF是等腰三角形時(shí)，求y的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥OA于F，由∠OAB=45°，AB=3，即可求得BF與AF的值，又由BD=OA=，即可求得CD的長(zhǎng)，則可求得D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）首先連接OD，由結(jié)論（1）知：D在∠COA的平分線上，可得∠DOE=∠COD=45°，又由∠1=∠2，可判定△ODE∽△AEF，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）當(dāng)△AEF為等腰三角形時(shí)，存在EF=AE或AF=AE或EF=AF共3種情況，分別從這三種情況去分析，利用相似三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)求解，即可求得答案．
解答：解：（1）如圖（1），過(guò)點(diǎn)B作BM⊥OA于M，
∵∠OAB=45°，
∴AM=BM=AB•sin∠OAB=3×=，
∵BD=OA=，
∴OA=4，
∴CD=BC-BD=OM-BD=4--=，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)是．（2分）

（2）連接OD，如圖（2），由結(jié)論（1）知：D在∠COA的平分線上，
則∠DOE=∠COD=45°，
又∵在梯形DOAB中，∠BAO=45°，
∴OD=AB=3，
由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-∠DOE=∠DEA-45°，
又∵∠2=∠DEA-45°，
∴∠1=∠2，
∴△ODE∽△AEF，
∴，
即：
∴y與x的解析式為：y=-x²+x；（6分）

（3）當(dāng)△AEF為等腰三角形時(shí)，存在EF=AE或AF=AE或EF=AF共3種情況．
①當(dāng)EF=AE時(shí)，如圖（3），
∴∠EFA=∠DEF=45°，
∴DE∥AB，
又∵DB∥EA，
∴四邊形DEAB是平行四邊形，
∴AE=DB=，
∴AF=AE=2，
∴y=2；
②當(dāng)AF=AE時(shí)，如圖（4），連接OD，
由（2）知△ODE∽△AEF，
則，
即，
則3y=4x-x²，①，
又OE+AE=4，即x+y=4②，
聯(lián)立①②解得：y=4-3；
③當(dāng)EF=AF時(shí)，如圖（5）．∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°，
∴△AEF為等腰直角三角形．
∴∠AEF=45°，
∵∠DEF=45°，
∴∠DEA=90°，
∴四邊形COED是矩形，
∴OE=CD=，
∴AE=4-=，
∴AF=AE•sin45°=；
∴當(dāng)△AEF為等腰三角形時(shí)，y的值為2或4-3或．（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與分類討論思想的應(yīng)用，注意準(zhǔn)確作出輔助線．