Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²-2ax+

3

2

的圖象與x軸交于A、B二點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．拋物的頂點(diǎn)為E（1，2），D為拋物線上一點(diǎn)，且CD∥x軸．
（1）求此二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）寫出A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)F在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)G在拋物線上，且以A、B、F、G四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得a的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）根據(jù)拋物線的解析式，易知點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，

3

2

），由于C、D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，進(jìn)而可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；令拋物線的解析式中y=0，通過解方程即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．
（3）此題應(yīng)該分兩種情況考慮：
①當(dāng)點(diǎn)G在x軸上方時(shí)，此時(shí)平行四邊形以AB為對(duì)角線，由于點(diǎn)F在拋物線對(duì)稱軸上，因此點(diǎn)G也必在拋物線的對(duì)稱軸上，即此時(shí)點(diǎn)G與拋物線頂點(diǎn)E重合，由此求得點(diǎn)G的坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)G在x軸下方時(shí)，此時(shí)平行四邊形以AB為邊，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等可知FG=AB=4，由此可根據(jù)拋物線對(duì)稱軸得到G點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式中即可得到點(diǎn)G的坐標(biāo)．

解答：解：（1）把（1，2）代入y=ax²-2ax+

3

2

得：
2=a-2a+

3

2

，（1分）a=-

1

2

，
∴二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-

1

2

x²+x+

3

2

．（2分）

（2）由拋物線的解析式知：C（0，

3

2

），
由于CD∥x軸，則C、D關(guān)于x=1對(duì)稱，
故D（2，

3

2

）；
拋物線的解析式中，當(dāng)y=0時(shí)，-

1

2

x²+x+

3

2

=0，
解得x=-1，x=3；
故A（-1，0）、B（3，0）、C（0，

3

2

）、D（2，

3

2

）．（6分）

（3）①當(dāng)點(diǎn)G在x軸上方時(shí)，此時(shí)平行四邊形以AB為對(duì)角線；
由于點(diǎn)F在拋物線對(duì)稱軸上，則點(diǎn)G也在拋物線的對(duì)稱軸上，即G、E重合，
故點(diǎn)G₁坐標(biāo)為（1，2）；（8分）
②當(dāng)點(diǎn)G在x軸下方時(shí)，由題意知AB=GF=4，得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)x=-3或5，（9分）
把x=-3或5代入y=-

1

2

x²+x+

3

2

，得y=-6，（10分）
點(diǎn)G₂坐標(biāo)為（-3，-6），點(diǎn)G₃坐標(biāo)為（5，-6）．（12分）
綜上可知，點(diǎn)G的坐標(biāo)為：G₁（1，2）、G₂（-3，-6），G₃（5，-6）．
綜上所述點(diǎn)G坐標(biāo)為（1，2），（-3，-6）或（5，-6）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)意義、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，要注意的是（3）題中，一定要根據(jù)AB在平行四邊形中的不同位置來分類討論，以免漏解．