Question

（2002•聊城）如圖，BC為⊙O的直徑，AD⊥BC于D，P是上一動點，連接PB分別交AD、AC于點E，F(xiàn)．
（1）當=時，求證：AE=BE；
（2）當點P在什么位置時，AF=EF？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AB，由圓周角定理知：AB⊥AC，在Rt△ABC中，AD⊥BC，易證得∠BAD=∠C，已知=，可得∠ABE=∠C，所以∠ABE=∠BAD，即AE=BE；
（2）當AF=EF時，∠FAE=∠FEA，易得∠FAE=∠ABD，∠FEA=∠DEB，因此∠BED=∠ABD，那么它們的余角也相等，
即∠FBC=∠BAD，由（1）知∠BAD=∠C，即∠FBC=∠C，那么弧PC=弧AB，因此當弧PC=弧AB時，AF=EF．
解答：（1）證明：連接AB，
∵BC為⊙O的直徑，
∴AB⊥AC．
又∵AD⊥BC，
∵∠BAD+∠DAC=90°∠C+∠DAC=90°
∴∠BAD=∠C．
∵=，
∴∠ABE=∠C．
∴∠ABE=∠BAD．
∴AE=BE．

（2）當弧PC=弧AB時，AF=EF．
證明：∵弧PC=弧AB，
∴∠PBC=∠C．
∴90°-∠PBC=90°-∠C．
即∠BED=∠DAC，
∵∠BED=∠AEF，
∴∠DAC=∠AEF．
∴AF=EF．
點評：主要考查了圓中的有關(guān)性質(zhì)．掌握其中的圓周角定理、圓心角、弧、圓周角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．