Question

已知：在Rt△ABC中，AB=BC．在Rt△ADE中，AD=DE；連接EC，取EC中點M，連接DM和BM．
（1）若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖（1），猜想BM與DM的關(guān)系；
（2）如果將圖（1）中的Rt△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°的角，如圖（2），那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明．
（3）如果將圖（1）中的Rt△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)大于90°且小于135°的角，如圖（3），那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明．

Answer 1

分析：（1）求出BM=MC=

1

2

EC，DM=MC=

1

2

EC，推出BM=DM，∠MBC=∠BCM，∠MDC=∠MCD，求出∠BME=2∠BCE，∠DME=2∠DCM，求出∠BMD=∠BME+∠DME=2∠BCE+2∠ACE=90°即可；
（2）還成立，延長DM交AC于點P，鏈接BD、BP，易證△DEM≌△PCM再證△DAB≌△PCB，得出等腰直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)推出即可；
（3）取AC的中點，F(xiàn)，AE的中點G，連接DG、GM、BF、MF，求出MF∥AC，MG=

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2

AC，BF⊥AC，BF=

1

2

AC，推出GM=BF，MF=DG，MF∥AE，求出∠DGM=∠MFB，證△DGM≌△MFB，得出DM=BM，∠MBF=∠DMG，求出BF⊥GM，求出∠BMD=90°即可．

解答：解：（1）BM與DM的關(guān)系是BM=DM，BM⊥DM，
理由是：∵∠ABC=90°，∠EDC=90°，M為EC的中點，
∴BM=MC=

1

2

EC，DM=MC=

1

2

EC，
∴BM=DM，∠MBC=∠BCM，∠MDC=∠MCD，
∵∠BME=∠CBM+∠MBC=2∠BCE，∠DME=∠MDC+∠MCD=2∠DCM，
∴∠BMD=∠BME+∠DME=2∠BCE+2∠ACE=2×45°=90°，
即BM=DM，BM⊥DM．

（2）（1）中的結(jié)論還成立，
理由是：延長DM交AC于F，連接BF，BD，
∵∠EDA=∠DAC=90°，
∴DE∥AC，
∴∠DEM=∠FCM，
在△EDM和△CFM中

∠DEM=∠FCM EM=CM ∠DME=∠CMF

∴△EDM≌△CFM（ASA），
∴DE=FC=AD，
在△DAB和△FCB中

AB=BC ∠DAB=∠BCF=45° AD=FC

∴△DAB≌△FCB
∴BD=BF，∠DBA=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，
∴∠DBA+∠ABF=90°，
即△DBF是等腰直角三角形，
∵DM=MF，
∴BM=DM，BM⊥DM．
∴（1）中的結(jié)論還成立；

（3）（1）中的結(jié)論還成立，
理由是：取AC的中點F，AE的中點G，連接DG、GM、BF、MF，
∵M(jìn)為EC的中點，
∴MG∥AC，MG=

1

2

AC，
∵∠ABC=90°，F(xiàn)為AC中點，AB=AC，
∴BF⊥AC，BF=

1

2

AC，
∴GM=BF，
同理MF=DG，MF∥AE，
∵M(jìn)F∥AE，GM∥AC，
∴∠MFC=∠EAF=∠EGM，
∵∠DGE=∠BFC=90°，
∴∠DGM=∠MFB，
在△DGM和△MFB中

DG=MF ∠DGM=∠MFB GM=BF

，
∴△DGM≌△MFB，
∴DM=BM，∠MBF=∠DMG，
∵BF⊥AC，MG∥AC，
∴BF⊥GM，
∴∠MBF+∠BMH=180°-90°=90°，
即∠BMD=90°，
∴DM⊥BM，
∴（1）中的結(jié)論還成立．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，本題綜合性比較強(qiáng)，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，本題難度偏大，對學(xué)生提出了較高的要求．