Question

【題目】如圖，在中，，，，點分別是邊上的動點（點不與重合），且，過點作的平行線，交于點，連接，設為．

（1）試說明不論為何值時，總有∽；

（2）是否存在一點，使得四邊形為平行四邊形，試說明理由；

（3）當為何值時，四邊形的面積最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當時，四邊形為平行四邊形；（3）當時，四邊形的面積最大，最大值為．

【解析】

（1）根據題意得到∠MQB=∠CAB，根據相似三角形的判定定理證明；
（2）根據對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答；
（3）根據勾股定理求出BC，根據相似三角形的性質用x表示出QM、BM，根據梯形面積公式列出二次函數解析式，根據二次函數性質計算即可．

解：（1）∵，

∴，

∴，又，

∴∽；

（2）當時，四邊形為平行四邊形，

∵，，

∴四邊形為平行四邊形；

（3）∵，

∴，

∵∽，

∴，即，

解得，，

∵，

∴，即，

解得，，

則四邊形的面積，

∴當時，四邊形的面積最大，最大值為．