Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．

（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；
（2）連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)勾股定理得：BA=

分兩種情況討論：

①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)， ，

∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，

∴ ，解得，t=1，

②當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)， ，

∴ ，解得，t= ；

∴t=1或 時(shí)，△BPQ∽△BCA

（2）解：過P作PM⊥BC于點(diǎn)M，AQ，CP交于點(diǎn)N，如圖所示：

則PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，

∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，

∴∠NAC=∠PCM，

∵∠ACQ=∠PMC，

∴△ACQ∽△CMP，

∴ ，

∴ ，解得t= ．

【解析】（1）分兩種情況：①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，BP：BA=BQ：BC；當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，BP：BC=BQ：BA，再根據(jù)BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入計(jì)算即可；（2）過P作PM⊥BC于點(diǎn)M，AQ，CP交于點(diǎn)N，則有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，根據(jù)△ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入計(jì)算即可．