Question

1．如圖，⊙O中，$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，D為$\widehat{AB}$上任意一點(diǎn)，若cos∠BDC=$\frac{3}{4}$，求tan∠ADC的值．

Answer 1

分析 連接BO并延長交⊙O與點(diǎn)E，連接EC，知∠BDC=∠BEC、∠BCE=90°，可得cos∠BDC=cos∠BEC=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{3}{4}$，設(shè)EC=3x、BE=4x得BC=$\sqrt{B{E}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{7}$x，連接AO并延長交BC于點(diǎn)F，知∠ABC=∠ACB=∠ADC、∠AFB=∠AFC=90°，求得BF=CF=$\frac{\sqrt{7}}{2}$x、OF=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{3}{2}$x，即可得答案．

解答 解：如圖，連接BO并延長交⊙O與點(diǎn)E，連接EC，

則∠BDC=∠BEC，
∵BE為⊙O的直徑，
∴∠BCE=90°，
∴cos∠BDC=cos∠BEC=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{3}{4}$，
設(shè)EC=3x，則BE=4x，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{7}$x，
連接AO并延長交BC于點(diǎn)F，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴∠ABC=∠ACB=∠ADC，
∴∠AFB=∠AFC=90°，
則BF=CF=$\frac{\sqrt{7}}{2}$x，
∵BO=EO，
∴OF為△BEC的中位線，
∴OF=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{3}{2}$x，
∴AF=AO+OF=$\frac{7}{2}$x，
則tan∠ADC=tan∠ACF=$\frac{AF}{CF}$=$\frac{\frac{7}{2}x}{\frac{\sqrt{7}}{2}x}$=$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題主要考查圓周角定理、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)及中位線定理、三角函數(shù)的定義，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．