Question

觀察思考
如圖，⊙O的半徑是，圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，在直角坐標(biāo)系中，把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)．
（1）寫出⊙O上所有格點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）設(shè)上述格點(diǎn)的坐標(biāo)為P（a，b）．
①若Q（1，-3），是否存在這樣的點(diǎn)P，使得直線PQ與⊙O相切？若存在請寫出符合條件的一個點(diǎn)P，并予以證明；若不存在，請說明理由．
②求二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象經(jīng)過第一、二、四象限的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圖形寫出所有滿足題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)，共有8個；
（2）①存在，連接OP，QP，由“SAS”證明△PMO≌△QNP，從而得到對應(yīng)角∠OPM=∠PQN，因?yàn)椤螾QN與∠QPN互余，所以得到∠OPM+∠QPN=90°，根據(jù)平角定義得到∠OPQ為直角，故PQ為圓O的切線；
②由二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，得到a與b的符號，進(jìn)而得到滿足題意的P坐標(biāo)的個數(shù)為2個，根據(jù)概率的求法，利用2除以8即可求出概率．
解答：解：（1）根據(jù)圖形得到滿足題意的格點(diǎn)P坐標(biāo)為：
（1，2），（2，1），（-1，2），（-2，1），（-1，-2），（-2，-1），（1，-2），（2，-1）共8個；

（2）①存在這樣的點(diǎn)P，使得直線PQ與⊙O相切，例如P（2，-1），
證明：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
連接OP，QP，由OM=NP=2，PM=QN=1，且∠PMO=∠QNP=90°，
∴△PMO≌△QNP，∴∠OPM=∠PQN，
∵∠QPN+∠PQN=90°，∴∠OPQ=180°-（∠OPM+∠QPN）=90°，
∴直線PQ是⊙O的切線；
②∵二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，
∴a＞0，且-＞0，則b＜0，
滿足題意的點(diǎn)P坐標(biāo)有：（1，-2），（2，-1）共2個，而所有點(diǎn)P坐標(biāo)有（1，2），（2，1），（-1，2），（-2，1），（-1，-2），（-2，-1），（1，-2），（2，-1）共8個；
∴P==．
點(diǎn)評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，事件概率的求法，及全等三角形的知識．切線的證明方法有兩種：1、有點(diǎn)連接此點(diǎn)與圓心，證明夾角為直角；2、無點(diǎn)作垂線，證明垂線段等于圓的半徑．