Question

如圖，正三角形ABC內(nèi)接于圓O，P是BC所對劣弧上一點(diǎn)，求證：PA=PB+PC．

Answer 1

證明：證法1：以A為頂點(diǎn)，將△ABP旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，如圖所示：
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，PA=AD；△BAP≌△CAD，
∴CD=PB，
∵內(nèi)接四邊形的對角和為180°，
∴∠PCD=∠ACP+∠ACD=∠ACP+∠ABP=180°，
∴PA=PB+PC．

證法2：在AP上截取PQ，使PQ=PC．以A為頂點(diǎn)，作AD=AP，連接CD．如圖所示：
∵∠PAB+∠PAC=∠DAC+∠PAC，
∴∠BAC=∠PAD，
又∵AD=AP，AB=AC，
∴△APD∽△ABC，
∴△PAD是等邊三角形．
∴∠APD=60°，
則△PCQ是正三角形，
∴QC=PC=QP，
∴△BPC≌△AQC，
則BP=AQ，
∴PA=PB+PC．
分析：以A為頂點(diǎn)，將△ABP旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)B與點(diǎn)C重合．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易知PA=AD，∠BAP=∠CAD；然后根據(jù)全等三角形的判定定理SAS知△BAP≌△CAD，再由全等三角形的性質(zhì)（全等三角形的對應(yīng)邊相等）得，CD=PB；根據(jù)以上的條件可知PA=PB+PC．
點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)．解答本題借助于旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，構(gòu)建了與△APB全等的△CAD．