Question

（2010•樂山）如圖所示，AB是⊙O的直徑，D是圓上一點(diǎn)，=，連接AC，過點(diǎn)D作弦AC的平行線MN．
（1）證明：MN是⊙O的切線；
（2）已知AB=10，AD=6，求弦BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）證MN是⊙O的切線，只需連接OD，證OD⊥MN即可．由于D是弧AC的中點(diǎn)，由垂徑定理知OD⊥AC，而MN∥AC，由此可證得OD⊥MN，即可得證．
（2）設(shè)OD與AC的交點(diǎn)為E，那么OE就是△ABC的中位線，即BC=2OE；欲求BC，需先求出OE的長．可設(shè)OE為x，那么DE=5-x，可分別在Rt△OAE和Rt△ADE中，用勾股定理表示出AE²，即可得到關(guān)于x的方程，從而求出x即OE的值，也就能得到BC的長．
解答：（1）證明：連接OD，交AC于E，如圖所示，
∵=，∴OD⊥AC；
又∵AC∥MN，∴OD⊥MN，
所以MN是⊙O的切線．

（2）解：設(shè)OE=x，因AB=10，所以O(shè)A=5，ED=5-x；
又因AD=6，在Rt△OAE和Rt△DAE中，
AE²=OA²-OE²=AD²-DE²，即：
5²-x²=6²-（5-x）²，解得x=；
由于AB是⊙O的直徑，所以∠ACB=90°，則OD∥BC；
又AO=OB，則OE是△ABC的中位線，所以BC=2OE=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理、切線的判定，勾股定理以及三角形中位線定理等知識(shí)，難度適中．