Question

（2012•長寧區(qū)一模）如圖，點A在x正半軸上，點B在y正半軸上．tan∠OAB=2．拋物線y=x²+mx+2的頂點為D，且經過A、B兩點．
（1）求拋物線解析式；
（2）將△OAB繞點A旋轉90°后，點B落在點C處．將上述拋物線沿y軸上下平移后過C點．寫出點C坐標及平移后的拋物線解析式；
（3）設（2）中平移后拋物線交y軸于B₁，頂點為D₁．點P在平移后的圖象上，且S_△PBB1=2S_△PDD1，求點P坐標．

Answer 1

分析：（1）二次函數y=x²+mx+2的圖象經過點B，可得B點坐標為（0，2），再根據tan∠OAB=2求出A點坐標，將A代入解析式即可求得函數解析式；
（2）根據旋轉不變性分順時針旋轉與逆時針旋轉兩種情況可求得C點坐標，由于沿y軸運動，故圖象開口大小、對稱軸均不變，設出解析式，代入C點作標即可求解；
（3）由于P點位置不固定，由圖可知要分①當點P在對稱軸的右側時，②當點P在對稱軸的左側，同時在y軸的右側時，③當點P在y軸的左側時，三種情況討論．

解答：解：（1）由題意，點B的坐標為（0，2），
∴OB=2，
∵tan∠OAB=2，即

OB

OA

=2．
∴OA=1．
∴點A的坐標為（1，0），
又∵二次函數y=x²+mx+2的圖象過點A，
∴0=1²+m+2．
解得m=-3，
∴所求二次函數的解析式為y=x²-3x+2；

（2）如圖，作CE⊥x軸于E，

由于∠BAC=90°，可知∠CAE=∠OBA，△CAE≌△OBA，
可得CE=OA=1，AE=OB=2，
①順時針旋轉90°，則點C的坐標為（3，1），
由于沿y軸運動，故圖象開口大小、對稱軸均不變，
設出解析式為y=x²-3x+c，代入C點作標得1=9-9+c，
解得c=1，
所求二次函數解析式為y=x²-3x+1，
②逆時針旋轉90°，則點C的坐標為（-1，-1），
由于沿y軸運動，故圖象開口大小、對稱軸均不變，
設出解析式為y=x²-3x+c，代入C點作標得1+3+c=-1，
解得c=-5，
所求二次函數解析式為y=x²-3x-5；

（3）由（2），經過平移后所得圖象是原二次函數圖象向下平移1個單位后所得的圖象，
那么對稱軸直線x=

3

2

不變，且BB₁=DD₁=1，
∵點P在平移后所得二次函數圖象上，
設點P的坐標為（x，x²-3x+1）．
在△PBB₁和△PDD₁中，
∵S_△PBB1=2S_△PDD1，
∴邊BB₁上的高是邊DD₁上的高的2倍．
①當點P在對稱軸的右側時，x=2（x-

3

2

），得x=3，
∴點P的坐標為（3，1）；
②當點P在對稱軸的左側，同時在y軸的右側時，x=2（

3

2

-x），得x=1，
∴點P的坐標為（1，-1）；
③當點P在y軸的左側時，x＜0，又-x=2（

3

2

-x），
得x=3＞0（舍去），
∴所求點P的坐標為（3，1）或（1，-1）；
設點P的坐標為（x，x²-3x-5），同理可得P的坐標為（3，-5）；（1，-7），
綜上可知：P的坐標為：（3，1）；（3，-5）；（1，-1）；（1，-7）．

點評：此題是一道中考壓軸題，將解直角三角形、圖形的旋轉和平移以及點的存在性的探索等問題結合起來，考查了綜合應用各種知識解題的能力，思維跳躍較大，有一定難度．