Question

如圖，拋物線交x軸的正半軸于點A，交y軸于點B，且OA＝OB．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點M為AB的中點，∠PMQ在AB的同側以 點M為中心旋轉，且∠PMQ＝45°，MP交y軸于點C，MQ交x軸于點D. 設AD＝m（m＞0），BC＝n，求n與m之間的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，當∠PMQ的一邊恰好經過該拋物線與x軸的另一個交點時，求∠PMQ的另一邊所在直線的解析式．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）或

【解析】

試題分析：（1）由拋物線得B（0，-4），再結合OA＝OB，且點A在x軸正半軸上，即可求得點A的坐標，從而求得結果；

（2）先根據等腰直角三角形的性質得到∠OAB＝∠OBA＝45°，AB=，即得∠ADM+∠AMD＝135°，由∠CMD＝45°可得∠AMD+∠BMC＝135°，證得△ADM∽△BMC，根據相似三角形的性質可得，再根據M為AB的中點可得AM＝BM＝，即可求得所求的函數關系式；

（3）由即可求得拋物線與x軸另一個交點為，由點A、B的坐標可求得AB中點M的坐標，再分①當MP經過點（-2，0）時，②當MQ經過點（-2，0）時，這兩種情況求解即可.

（1）由拋物線得B（0，-4），

∵OA＝OB，且點A在x軸正半軸上，

∴A（4，0）

將A（4，0）代入得

，解得

∴拋物線的解析式為；

（2）∵OA＝OB=4，∠AOB＝90°，

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，AB=，

∴∠ADM+∠AMD＝135°

∵∠CMD＝45°

∴∠AMD+∠BMC＝135°，

∴∠ADM＝∠BMC， 

∴△ADM∽△BMC，

∴，則，

∵M為AB的中點，

∴AM＝BM＝，

∴就是所求的函數關系式；

（3）由

∴拋物線與x軸另一個交點為（-2，0），

∵A（4，0），B（0，-4），

∴AB中點M的坐標為（2，-2）

①當MP經過點（-2，0）時，MP的解析式為

∵MP交y軸于點C，

∴C（0，-1），則n=BC＝OB－OC＝3

由，得

∴OD=OA-AD=，則D（，0）

∵MQ經過M（2，-2）、D（，0），

∴MQ的解析式為；

②當MQ經過點（-2，0）時，MQ的解析式為

此時，點D的坐標為（-2，0），m=AD=6

∴，即BC＝

∴OC＝OB－BC＝，則C（0，－）

∵MP經過M（2，-2）、C（0，－），

∴MP的解析式為.

考點：二次函數的綜合題

點評：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現，需特別注意.