Question

如圖，∠AOB=45°，點P為∠AOB內(nèi)一點，且OP=4，M為OA上一點，N為OB上一點，則△PMN的周長的最小值為（　�。�

• A、4

  2

• B、4

  3

• C、4
• D、2

  2

Answer 1

分析：作P關(guān)于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．根據(jù)對稱的性質(zhì)可以證得：△COD是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解．

解答：解：作P關(guān)于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．
∵PC關(guān)于OA對稱，
∴∠COP=2∠AOP，OC=OP，
同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD，
∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．
∴△COD是等腰直角三角形．
則CD=

2

OC=4

2

．
故選A．

點評：本題考查了對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運用，解題的關(guān)鍵是正確作出圖形，理解△PMN周長最小的條件是解題的關(guān)鍵．