Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，AC平分∠DAB．

【小題1】求證：AD⊥DC
【小題2】若，，求的值以及AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【小題1】連接OC
∵OC=OA
∴∠CAO=∠OCA             ---------------------------------1分
又∵CD與圓O相切
∴∠OCD=90°
即∠OCA+∠DCA=90°
∴∠CAO+∠DCA=90°
又∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠CAO
∴∠DAC+∠DCA=90°
∴∠ADC=90°
即AD⊥DC                  ---------------------------------4分
【小題2】連接BC
∵AD⊥DC∴
因?yàn)锳B為圓O的直徑
∴∠ACB=90°
∴∠ADC=∠ACB=90°
又∵∠DAC=∠CAO
∴△ADC∽△ACB
∴即    
∴                         ---------------------------------2分
        ---------------------------------3分   解析:
（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC與CD垂直，進(jìn)而得到∠OCA+∠DCA=90°，由AC為角平分線，根據(jù)角平分線定義得到兩個(gè)角相等，又OA=OC，根據(jù)等邊對(duì)等角得到又得到另兩個(gè)角相等，等量代換后得到∠DAC=∠OCA，根據(jù)等角的余角相等得到∠DCA+∠DAC=90°，從而得到∠ADC為直角，得證；
（2）先用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，再利用△ADC∽△ACB求出AB的長(zhǎng)度，然后利用直角三角形的性質(zhì)求出的值.