Question

如圖，拋物線y=-x²+2nx+n²-9（n為常數(shù)）經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和x軸上另一點(diǎn)C，頂點(diǎn)在第一象限．
（1）確定拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在四邊形OABC內(nèi)有一矩形MNPQ，點(diǎn)M，N分別在OA，BC上，A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，8），點(diǎn)Q，P在x軸上．當(dāng)MN為多少時(shí)，矩形MNPQ的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

（1）∵拋物線過(guò)（0，0）點(diǎn)．
∴n²-9=0（1分）
∴n=±3，（2分）
∵頂點(diǎn)在第一象限，
∴-

b

2a

=n＞0且

4ac-b2

4a

=

-4n2

-4

=n²＞0（不寫不扣分），
∴n=3（3分）
∴拋物線y=-x²+6x（4分）
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，9）．（5分）

（2）如圖所示，作AH⊥x軸于H．
設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）
∴△OMQ∽△OAH，
∴

OQ

OH

=

MQ

AH

（7分）
∴

x

2

=

y

8

，
∴y=4x（8分）
由拋物線的對(duì)稱性可知：QP=MN=6-2x．（9分）
∴S_MNPQ=4x（6-2x）=-8x²+24x（10分）
∴當(dāng)x=-

b

2a

=-

24

-16

=

3

2

時(shí)，（11分）MN=6-

3

2

×2=3時(shí)，S_MNPQ最大=-8×

9

4

+24×

3

2

=18，
答：MN等于3時(shí)，矩形MNPQ的最大面積是18．（12分）