Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，三個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，求四邊形PMAC面積的最大值和此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若P為拋物線在第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AC交x軸于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____時(shí)，四邊形PQAC是平行四邊形；當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____時(shí)，四邊形PQAC是等腰梯形（直接寫(xiě)出結(jié)果，不寫(xiě)求解過(guò)程）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后化為頂點(diǎn)式求出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）本問(wèn)關(guān)鍵是求出四邊形PMAC面積的表達(dá)式，這個(gè)表達(dá)式是關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)求極值的方法求出面積的最大值，并求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）四邊形PQAC為平行四邊形或等腰梯形時(shí)，需要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)求出P點(diǎn)坐標(biāo)：
①當(dāng)四邊形PQAC為平行四邊形時(shí)，如答圖1所示．構(gòu)造全等三角形求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用P點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x=1對(duì)稱的特點(diǎn)，求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
②當(dāng)四邊形PQAC為平行四邊形時(shí)，如答圖2所示．利用等腰梯形、平行四邊形、全等三角形以及線段之間的三角函數(shù)關(guān)系，求出P點(diǎn)坐標(biāo)．注意三角函數(shù)關(guān)系部分，也可以用相似三角形解決．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)C（0，3）
∴當(dāng)x=0時(shí)，c=3．
又∵拋物線y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（3，0）
∴，解得
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3
又∵y=-x²+2x+3，y=-（x-1）²+4
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，4）．

（2）設(shè)直線BD的解析式為y=kx+n（k≠0）
∵直線y=kx+n過(guò)點(diǎn)B（3，0），D（1，4）
∴，解得
∴直線BD的解析式：y=-2x+6
∵P點(diǎn)在線段BD上，因此，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，-2m+6）
又∵PM⊥x軸于點(diǎn)M，∴PM=-2m+6，OM=m
又∵A（-1，0），C（0，3）∴OA=1，OC=3
設(shè)四邊形PMAC面積為S，則
S=OA•OC+（PM+OC）•OM=×（-2m+6+3）•m
=-m²+m+=-（m-）²+
∵13
∴當(dāng)m=時(shí)，四邊形PMAC面積的最大值為
此時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)是（，）．

（3）答案：（2，3）；（，）．
******注：以下給出解題簡(jiǎn)要過(guò)程，原題并無(wú)此要求******
①四邊形PQAC是平行四邊形，如右圖①所示．
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，易證△AOC≌△QEP，∴y_P=PE=CO=3．
又CP∥x軸，則點(diǎn)C（0，3）與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱軸x=1對(duì)稱，∴x_P=2．
∴P（2，3）．
②四邊形PQAC是等腰梯形，如右圖②所示．
設(shè)P（m，n），P點(diǎn)在拋物線上，則有n=-m²+2m+3．
過(guò)P點(diǎn)作PE⊥x軸于點(diǎn)E，則PE=n．
在Rt△OAC中，OA=1，OC=3，∴AC=，tan∠CAO=3，cos∠CAO=；
∵PQ∥CA，∴tan∠PQE==tan∠CAO=3，
∴QE=n，PQ==n．
過(guò)點(diǎn)Q作QM∥PC，交AC于點(diǎn)M，則四邊形PCMQ為平行四邊形，△QAM為等腰三角形．再過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥AC于點(diǎn)N．
則有：CM=PQ=n，AN=AM=（AC-CM）=（1-n），
AQ==5（1-n）．
又AQ=AO+OQ=1+（m-n），
∴5（1-n）=1+（m-n），化簡(jiǎn)得：n=3-m；
又P點(diǎn)在拋物線上，有n=-m²+2m+3，
∴-m²+2m+3=3-m，化簡(jiǎn)得：m²-m=0，解得m₁=0（舍去），m₂=
∴m=，n=3-m=，
∴P（，）．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了諸多重要的知識(shí)點(diǎn)，包括：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、二次函數(shù)的極值、圖形面積的求法、等腰梯形、平行四邊形、等腰三角形、三角函數(shù)（或相似三角形）等，涉及考點(diǎn)眾多，有一定的難度．本題難點(diǎn)在于第（3）問(wèn)等腰梯形的情形，注意該種情形下求點(diǎn)的坐標(biāo)的方法．