【題目】.如圖,矩形ABCD中,OAC中點,過點O的直線分別與ABCD交于點E、F,連結(jié)BFAC于點M,連結(jié)DE、BO.若∠COB=60°,FO=FC,則下列結(jié)論:①FB垂直平分OC;②△EOB≌△CMB;③DE=EF;④SAOESBCM=23.其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )

A. 4B. 3C. 2D. 1

【答案】C

【解析】試題分析:利用線段垂直平分線的性質(zhì)的逆定理可得結(jié)論;△OMB≌△OEB△EOB≌△CMB;

先證△BEF是等邊三角形得出BF=EF,再證DEBF得出DE=BF,所以得DE=EF;可知△BCM≌△BEO,則面積相等,△AOE△BEO屬于等高的兩個三角形,其面積比就等于兩底的比,即SAOESBOE=AEBE,由直角三角形30°角所對的直角邊是斜邊的一半得出BE=2OE=2AE,得出結(jié)論SAOESBOE=AEBE=12

①∵矩形ABCD中,OAC中點, ∴OB=OC, ∵∠COB=60°, ∴△OBC是等邊三角形, ∴OB=BC

∵FO=FC, ∴FB垂直平分OC, 故正確;

②∵FB垂直平分OC∴△CMB≌△OMB, ∵OA=OC,∠FOC=∠EOA,∠DCO=∠BAO, ∴△FOC≌△EOA

∴FO=EO, 易得OB⊥EF, ∴△OMB≌△OEB, ∴△EOB≌△CMB, 故正確;

△OMB≌△OEB≌△CMB∠1=∠2=∠3=30°BF=BE, ∴△BEF是等邊三角形, ∴BF=EF,

∵DF∥BEDF=BE四邊形DEBF是平行四邊形, ∴DE=BF∴DE=EF, 故正確;

在直角△BOE∵∠3=30°, ∴BE=2OE, ∵∠OAE=∠AOE=30°∴AE=OE∴BE=2AE,

∴SAOESBCM=SAOESBOE=12, 故錯誤;

所以其中正確結(jié)論的個數(shù)為3

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