Question

如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，G為CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合），以CG為一邊向正方形ABCD外作正方形GCEF，連接DE交BG的延長(zhǎng)線于H．
（1）求證：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE．
（2）試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，BH垂直平分DE？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)正方形的邊的性質(zhì)和直角可通過(guò)SAS判定△BCG≌△DCE，從而利用全等的性質(zhì)得到∠BHD=90°即BH⊥DE；
（2）解題關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)得出EG=DG，從而找到EG=，DG=，DG+CG=CD．列方程求解即可．
解答：（1）證明：在正方形ABCD中，∠BCG=90°，BC=CD
在正方形GCEF中，∠DCE=90°，CG=CE
在△BCG和△DCE中，
∴△BCG≌△DCE（SAS）
∴∠1=∠2∵∠2+∠DEC=90°
∴∠1+∠DEC=90°
∴∠BHD=90°
∴BH⊥DE；

（2）解：當(dāng)GC=-1時(shí)，BH垂直平分DE．理由如下：
連接EG
∵BH垂直平分DE
∴EG=DG
設(shè)CG=x
∵CE=CG，∠DCE=90°
∴EG=，DG=
∵DG+CG=CD
x+x=1解得x=-1
∴GC=-1時(shí)，BH垂直平分DE．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí)．線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．特殊圖形的特殊性質(zhì)要熟練掌握．