Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AD+AB=14，（AB＞AD）BD=10，BD=DC，E、F分別是BC、CD上的點，且CE+CF=4．
（1）求BC的長；
（2）設EC的長為x，四邊形AEFD的面積為y，求y關于x的函數(shù)關系式．

Answer 1

解：（1）設直角三角形BAD的一直角邊為x，則另一直角邊為14-x，根據(jù)勾股定理得：
x²+（14-x）²=10²，
化簡得：x²-14x+48=0，
即（x-6）（x-8）=0，
∴x=6或x=8，
∵已知AB＞AD，
∴AB=8，AD=6，
再過點D作DG⊥BC與G，
∵已知梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，
∴四邊形ABGD是矩形，
∴BG=AD=6，DG=AB=8，
又BD=DC（已知），
∴三角形BDC是等腰三角形，
已作DG⊥BC與G，
∴CG=BG=6（等腰三角形的性質），
所以得：BC=BG+CG=6+6=12；

（2）∵AD∥BC，
∴四邊形AECD為梯形且與梯形ABCD同高，
∴梯形AECD的面積為：（x+6）•8=4x+24，
在直角三角形BGD中，sin∠DBG===，
又BD=DC，
∴△BDC為等腰三角形，
∴sinC=sin∠DBG=，
已知設EC=x，CE+CF=4，則CF=4-x，
∴△CEF的面積為：x•（4-x）sinC=x•（4-x）•=x-x²，
則四邊形AEFD的面積為y=梯形AECD的面積-△CEF的面積
=4x+24-（x-x²）=x²+x=24，
所以y關于x的函數(shù)關系式為：y=x²+x=24．
分析：（1）由已知，∠BAD=90°，AD+AB=14，根據(jù)勾股定理可求出AD和AB，再過點D作DG⊥BC與G，則由已知梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，得BG=AD，又BD=DC，所以得CG=BG，從而求出BC的長．
（2）由已知可以用x表示出梯形AECD的面積，另已知設EC=x，則CF=4-x，在直角三角形DEB中，能求出sin∠DBE，又BD=DC，則能求出sin∠C，所以用x可表示出三角形CEF的面積，那么四邊形AEFD的面積等于梯形AECD的面積-三角形CEF的面積，從而求出y關于x的函數(shù)關系式．
點評：此題考查了學生對直角梯形、等腰三角形的性質及勾股定理幾何綜合題的解題能力，解題的關鍵是：
（1）根據(jù)勾股定理可求出AD和AB，再過點D作DG⊥BC與G，得出BG和CG，從而求出BC的長．
（2）求出梯形AECD的面積，再求出△CEF的面積，二者之差就是四邊形AEFD的面積，從而求出y關于x的函數(shù)關系式．