Question

如圖，在△ABC中，∠A=2∠C，D是AC上的一點(diǎn)，且BD⊥BC，P在AC上移動(dòng)．
（1）當(dāng)P移動(dòng)到什么位置時(shí)，BP=AB．
（2）求∠C的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵BD⊥BC，
∴△DBC是直角三角形，
當(dāng)P移動(dòng)到DC的中點(diǎn)時(shí)，DP=PC=BP，
∴∠C=∠PBC，∠APB=∠C+∠PBC=2∠C，
又∵∠A=2∠C，
∴∠A=∠APB，
∴△ABP是等腰三角形，
∴BP=AB；

（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，在△ABD中，∠BDC＞∠A，
∵∠BDC+∠C=90°，
∴∠A+∠C＜90°，
即2∠C+∠C＜90°，
解得∠C＜30°．
分析：（1）先判斷出點(diǎn)P移動(dòng)的位置為DC的中點(diǎn)．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DP=PC=BP，根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠C=∠PBC，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式求出∠APB=2∠C，然后求出∠A=∠APB，再根據(jù)等角對(duì)等邊求解即可；
（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角可得∠BDC＞∠A，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余列出不等式，然后求解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．