Question

（2010•天津）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為E．
（1）若b=2，c=3，求此時(shí)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）將（1）中的拋物線(xiàn)向下平移，若平移后，在四邊形ABEC中滿(mǎn)足S_△BCE=S_△ABC，求此時(shí)直線(xiàn)BC的解析式；
（3）將（1）中的拋物線(xiàn)作適當(dāng)?shù)钠揭�，若平移后，在四邊形ABEC中滿(mǎn)足S_△BCE=2S_△AOC，且頂點(diǎn)E恰好落在直線(xiàn)y=-4x+3上，求此時(shí)拋物線(xiàn)的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了b、c的值，即可確定拋物線(xiàn)的解析式，通過(guò)配方或用公式法即可求出其頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）在拋物線(xiàn)向下平移的過(guò)程中，拋物線(xiàn)的形狀沒(méi)有發(fā)生變化，所以b值不變，變化的只是c的值；可用c表示出A、B、C的坐標(biāo)，若S_△BCE=S_△ABC，那么兩個(gè)三角形中BC邊上的高就應(yīng)該相等；可過(guò)E作EF∥BC，交x軸于F，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理知AB=BF，由此可求出BF的長(zhǎng)；易證得Rt△EDF∽R(shí)t△COB，根據(jù)相似三角形所得到的成比例線(xiàn)段即可求出c的值，也就確定了拋物線(xiàn)的解析式，即可得到C、B的坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BC的解析式；
（3）可設(shè)平移后拋物線(xiàn)的解析式為y=-（x-h）²+k，與（2）的方法類(lèi)似，也是通過(guò)作平行線(xiàn)，求出BF、DF的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)相似三角形來(lái)求出h、k的關(guān)系式，進(jìn)而可根據(jù)E點(diǎn)在直線(xiàn)y=-4x+3上求出h、k的值，進(jìn)而可確定平移后的拋物線(xiàn)解析式．
解答：解：（1）當(dāng)b=2，c=3時(shí)，拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+2x+3，即y=-（x-1）²+4；
∴拋物線(xiàn)頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，4）（2分）

（2）將（1）中的拋物線(xiàn)向下平移，則頂點(diǎn)E在對(duì)稱(chēng)軸x=1上，有b=2，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+2x+c（c＞0）；
∴此時(shí)，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為C（0，c），頂點(diǎn)為E（1，1+c）；
∵方程-x²+2x+c=0的兩個(gè)根為，，
∴此時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為A（1-，0），B（1+，0）；
如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥CB與x軸交于點(diǎn)F，連接CF，則S_△BCE=S_△BCF
∵S_△BCE=S_△ABC，
∴S_△BCF=S_△ABC
∴
設(shè)對(duì)稱(chēng)軸x=1與x軸交于點(diǎn)D，
則
由EF∥CB，得∠EFD=∠CBO
∴Rt△EDF∽R(shí)t△COB，有
∴結(jié)合題意，解得
∴點(diǎn)，
設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=mx+n，則
，解得；
∴直線(xiàn)BC的解析式為；（6分）

（3）根據(jù)題意，設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為E（h，k），h＞0，k＞0；
則拋物線(xiàn)的解析式為y=-（x-h）²+k，
此時(shí)，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為C，（0，-h²+k），
與x軸的交點(diǎn)為，，、
過(guò)點(diǎn)E作EF∥CB與x軸交于點(diǎn)F，連接CF，
則S_△BCE=S_△BCF；
由S_△BCE=2S_△AOC，
∴S_△BCF=2S_△AOC，得；
設(shè)該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D；
則；
于是，由Rt△EDF∽R(shí)t△COB，有
∴，即2h³+（2k-3h²）-3hk=0，
（2h-）（h-2）=0，
∵＞h＞0，
解得①，h=2（舍去），
∵點(diǎn)E（h，k）在直線(xiàn)y=-4x+3上，有k=-4h+3②
∴由①②，結(jié)合題意，解得
有k=1，
∴拋物線(xiàn)的解析式為．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)及頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法、二次函數(shù)圖象的平移、圖象面積的求法、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，能力要求很高，難度較大．