Question

如圖，在平面直角坐標系中，⊙M分別交坐標軸于點A、B、C，圓的半徑為，點M（1，-1）．
（1）求點A、B、C的坐標．
（2）若拋物線y=x²+bx+c過點C和點D（2，-3），求拋物線的解析式，并驗證A、B兩點是否在此拋物線上；
（3）在（2）中拋物線上是否存在一點P，使得直線PO把△BOC的面積分成1：2兩部分？若存在，求出直線PO的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點M作線段AB、OC的垂線，根據(jù)垂徑定理和勾股定理來確定點A、B、C的坐標．
（2）已求得點C的坐標，利用待定系數(shù)法即可得到拋物線的解析式，然后將A、B點的坐標代入其中進行驗證即可．
（3）設直線OP與線段BC的交點為G，首先求出△OBC的面積，根據(jù)題意可以發(fā)現(xiàn)，△OBG的面積應該是△OBC面積的或，在得到△OBC的面積后進一步的求出點G的縱坐標，而直線OBC的解析式易求得，那么點G的坐標就能確定出來，再由待定系數(shù)法求出直線OG（即直線OP）的解析式．
解答：解：（1）過M作ME⊥AB于E，MF⊥OC于F，如右圖；
在Rt△MBE中，MB=，ME=1，則 BE===2；
∴OB=OE+BE=1+2=3，即 B（3，0），同理可得 A（-1，0）、C（0，-3）．

（2）依題意，有：
，
解得
故拋物線的解析式：y=x²-2x-3；
當x=-1時，y=1+2-3=0，所以點A在拋物線的圖象上；
同理，可證得點B也在拋物線的圖象上．

（3）由B（3，0）、C（0，-3）可求得，直線BC：y=x-3；
設直線OP與線段BC的交點為G，則G（x，x-3）（x＞0）；
S_△OBC=×3×3=，
∴S_△OBG=S_△OBC=或S_△OBG=S_△OBC=3；
①當S_△OBG=×OB×|y_G|=×3×（3-x）=時，x=2，則 G（2，-1）；
直線OG：y=-x；
②當S_△OBG=×OB×|y_G|=×3×（3-x）=3時，x=1，則 G（1，-2）；
直線OG：y=-2x；
綜上，存在符合條件的直線OP，且解析式為：y=-x或y=-2x．
點評：此題的難度適中，主要考查了：函數(shù)解析式的確定、垂徑定理和勾股定理的綜合應用以及三角形面積的求法等綜合知識．（3）題中，△BOC的兩部分并沒有明確面積大的部分在上還是在下，因此要分類進行討論，以免漏解．