Question

（2012•和平區(qū)模擬）已知矩形紙片OBCD，OB=2，OD=1．如圖①②，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，使頂點O與邊CD上的點E重合．

（Ⅰ）如圖①，折痕FG分別與OD、OB交于點F、G，且OF=

2

3

，求點E的坐標(biāo)；
（Ⅱ）如圖②，折痕FG分別與CD、OB交于點F、G，過O、D、E三點的圓恰與直線BC相切于點N，OE與FG交于點P．
①求點E的坐標(biāo)；
②求折痕FG的長．

Answer 1

分析：（I）首先求出DF的長，進(jìn)而利用勾股定理得出DE的長，即可得出E點坐標(biāo)；
（II）①首先證明四邊形OBNM是矩形，進(jìn)而得出△OMP∽△ODE，利用勾股定理求出DE的長，即可得出E點坐標(biāo)；
②首先得出△EFP∽△EOD，進(jìn)而得出PF的長，再利用△FEP≌△GOP，即可得出折痕FG的長．

解答：解：（Ⅰ）∵OD=1，OF=

2

3

，
∴DF=OD-OF=1-

2

3

=

1

3

．
∵折疊后點O與點E重合，
∴△EFG≌△OFG．
∴EF=OF=

2

3

．
∵四邊形OBCD是矩形，
∴∠ODC=90°．
在Rt△DEF中，DE=

EF2-DF2

=

( 2 3 )2-( 1 3 )2

=

3

3

．
∴點E的坐標(biāo)為（

3

3

，1）．                   

（Ⅱ）①如圖所示，連接NP，并延長交OD于點M，
∵折疊后點O與點E重合，且FG是折痕，
∴PO=PE．
∵∠ODC=90°，
∴OE是過O、D、E三點的圓的直徑，點P是圓心．
∵BC切⊙P于點N，∴∠DOB=∠OBC=∠BNM=90°．
∴四邊形OBNM是矩形．
∴MN=OB=2，且MN∥OB．
∵DC∥OB，∴DC∥MN．
∴△OMP∽△ODE．
∴

MP

DE

=

OP

OE

=

1

2

．
∴MP=

1

2

DE．
設(shè)DE=x，則MP=

1

2

x，PN=2-

1

2

x．
在⊙P中，PE=PN=2-

1

2

x，
∴OE=2PE=4-x．
在Rt△ODE中，由OD²+DE²=OE²，
得1²+x²=（4-x）²．
解得x=

15

8

．
即DE=

15

8

．
∴點E的坐標(biāo)（

15

8

，1）．                   

②PE=2-

1

2

x=

17

16

．
∵折疊后點O與點E重合，且FG是折痕，
∴OE⊥FG．
∴∠EPF=∠EDO=90°．
∵∠FEP=∠OED，
∴△EFP∽△EOD．
∴

FP

OD

=

PE

DE

．
∴FP=

PE•OD

DE

=

17 16 ×1

15 8

=

17

30

．
∵DC∥OB，
∴∠FEP=∠GOP，∠EFP=∠OGP．

∠FEP=∠GOP ∠EFP=∠OGP PE=OP

，
∴△FEP≌△GOP（AAS）．
∴FP=GP．
∴FG=2FP=

17

15

．
∴折痕FG的長是

17

15

．

點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定等知識，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出PF的長是解題關(guān)鍵．