Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（1，4），B（a，b），其中a＞1．過(guò)點(diǎn)A作x軸垂線，垂足為C，過(guò)點(diǎn)B作y軸垂線，垂足為D，連接AD、DC、CB．
（1）若△ABD的面積為4，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求證：DC∥AB；
（3）四邊形ABCD能否為菱形？如果能，請(qǐng)求出四邊形ABCD為菱形時(shí)，直線AB的函數(shù)解析式；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意AC垂直于x軸，由A的坐標(biāo)得到C（1，0），設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)和反比例函數(shù)解析式，結(jié)合點(diǎn)A（1，4）在函數(shù)圖象上，得到反比例函數(shù)解析式，從而得到ab=4，再根據(jù)△ABD的面積為4，根據(jù)底為BD，高為AM，利用三角形的面積公式表示出三角形ABD的面積，由此三角形面積為4列出關(guān)系式，將ab=4代入可得出a的值，進(jìn)而確定出b的值，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)直線斜率的公式，結(jié)合C、D的坐標(biāo)，得到直線DC的斜率為-b，同理根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得到直線AB的斜率關(guān)于a、b的式子，再根據(jù)反比例解析式，有ab=4，代入化簡(jiǎn)可得k_AB==-b，直線AB與直線DC的斜率相等，根據(jù)斜率相等的兩直線平行可得出DC∥AB；
（3）根據(jù)條件可知四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直，只要四邊形ABCD是平行四邊形，它就是一個(gè)菱形，再由（2）知DC∥AB，所以只需DC=AB即可，接下來(lái)利用兩點(diǎn)的距離公式，根據(jù)CD=AB列出關(guān)于a、b的等式，結(jié)合ab=4，求出a與b的值，確定出B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），此時(shí)四邊形ABCD為菱形，最后用經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的公式，得出此時(shí)直線AB的斜率，再由B的坐標(biāo)，即可求出直線AB方程．
解答：（1）解：根據(jù)題意A（1，4），得C（1，0），
又∵B（a，b），故設(shè)點(diǎn)D（0，b），
∵A（1，4）在反比例函數(shù)y=的圖象上，
∴將x=1，y=4代入反比例函數(shù)解析式得：4=，即m=4，
∵根據(jù)點(diǎn)B（a，b）在反比例函數(shù)圖象上，
∴將x=a，y=b代入反比例函數(shù)解析式得：ab=4，
∴S_△ABD=BD•AM=×a×（4-b）=4，即4a-ab=4a-4=8，
∴a=3，b=，
則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3， ）；

（2）證明：由C（1，0），設(shè)D（0，b），
則直線DC的斜率為k_DC==-b．
同理，根據(jù)A（1，4），（a，b），可得直線AB的斜率為k_AB=．
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，有ab=4，
∴k_AB===-b=k_DC，
則DC∥AB；

（3）四邊形ABCD能為菱形，而四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直，
故當(dāng)ABCD是平行四邊形時(shí)，四邊形ABCD就是菱形，
由（2）得DC∥AB，要使ABCD是平行四邊形，
只需DC=AB，即=，
兩邊平方得：1-2a+a²+16-8b+b²=1+b²，即a²-2a-8b+16=0①，
又∵ab=4，即b=②，
將②代入①得：（a-2）（a²+16）=0，
解得：a=2，
將a=2代入②得：b=2，
∴B（2，2），
則點(diǎn)為B（2，2）時(shí)，四邊形ABCD為菱形時(shí)，
此時(shí)直線AB的斜率為k_AB==-2，
由直線的點(diǎn)斜式方程，得AB方程為y-2=-2（x-2），即y=-2x+6，
則所求函數(shù)解析式為y=-2x+6．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線的斜率和直線的方程，兩點(diǎn)的距離公式，坐標(biāo)系內(nèi)三角形面積求法，以及菱形的判定，從圖上獲取有用的信息是解題的關(guān)鍵所在．已知點(diǎn)在圖象上，那么點(diǎn)一定滿足這個(gè)函數(shù)解析式，反過(guò)來(lái)如果這點(diǎn)滿足函數(shù)的解析式，那么這個(gè)點(diǎn)也一定在函數(shù)圖象上，在分析問(wèn)題時(shí)，注意將數(shù)形結(jié)合在一起．