Question

【題目】小明投資銷售一種進(jìn)價(jià)為每件20元的護(hù)眼臺(tái)燈．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：y=﹣10x+500，在銷售過程中銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，而每件的利潤(rùn)不高于成本價(jià)的60%．
（1）設(shè)小明每月獲得利潤(rùn)為w（元），求每月獲得利潤(rùn)w（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍．
（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？每月的最大利潤(rùn)是多少？
（3）如果小明想要每月獲得的利潤(rùn)不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=進(jìn)價(jià)×銷售量）

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，得：w=（x﹣20）y=（x﹣20）（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000，即w=﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）
（2）解：對(duì)于函數(shù)w=﹣10x2+700x﹣10000的圖象的對(duì)稱軸是直線 ．

又∵a=﹣10＜0，拋物線開口向下．∴當(dāng)20≤x≤32時(shí)，W隨著X的增大而增大，

∴當(dāng)x=32時(shí)，W=2160

答：當(dāng)銷售單價(jià)定為32元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是2160元

（3）解：取W=2000得，﹣10x2+700x﹣10000=2000

解這個(gè)方程得：x1=30，x2=40．

∵a=﹣10＜0，拋物線開口向下．

∴當(dāng)30≤x≤40時(shí)，w≥2000．

∵20≤x≤32

∴當(dāng)30≤x≤32時(shí)，w≥2000．

設(shè)每月的成本為P（元），由題意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000

∵k=﹣200＜0，

∴P隨x的增大而減小．

∴當(dāng)x=32時(shí)，P的值最小，P最小值=3600．

答：想要每月獲得的利潤(rùn)不低于2000元，小明每月的成本最少為3600元

【解析】（1）由題意得，每月銷售量與銷售單價(jià)之間的關(guān)系可近似看作一次函數(shù)，利潤(rùn)=（定價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）×銷售量，從而列出關(guān)系式；（2）首先確定二次函數(shù)的對(duì)稱軸，然后根據(jù)其增減性確定最大利潤(rùn)即可；（3）根據(jù)拋物線的性質(zhì)和圖象，求出每月的成本．