Question

在直角坐標(biāo)系內(nèi)，等腰直角三角形A₁B₁O、A₂B₂B₁、A₃B₃B₂、…、A_nB_nB_n-1按如圖所示的方式放置，其中點A₁、A₂、A₃、…、A_n均在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上，點B₁、B₂、…、B_n、均在x軸上．若點B₁的坐標(biāo)為（1，0），點B₂的坐標(biāo)為（3，0），點A_n的坐標(biāo)為

（2^n-1-1，2^n-1）

．

Answer 1

分析：首先，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得點A₁、A₂的坐標(biāo)；然后，將點A₁、A₂的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求得該直線方程是y=x+1；最后，利用等腰直角三角形的性質(zhì)推知點B_n-1的坐標(biāo)，然后將其橫坐標(biāo)代入直線方程y=x+1求得相應(yīng)的y值．

解答：解：如圖，∵點B₁的坐標(biāo)為（1，0），點B₂的坐標(biāo)為（3，0），
∴OB₁=1，OB₂=3，則B₁B₂=2．
∵△A₁B₁O是等腰直角三角形，∠A₁OB₁=90°，
∴OA₁=OB₁=1．
∴點A₁的坐標(biāo)是（0，1）．
同理，在等腰直角△A₂B₂B₁中，∠A₂B₁B₂=90°，A₂B₁=B₁B₂=3，則A₂（1，2）．
∵點A₁、A₂均在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上，
∴

1=b 2=k+b

，
解得，

k=1 b=1

，
∴該直線方程是y=x+1．
∵點A₃，B₂的橫坐標(biāo)相同，都是3，
∴當(dāng)x=3時，y=4，即A₃（3，4），則A₃B₂=4，
∴B₃（7，0）．
同理，B₄（15，0），
…
B_n（2ⁿ-1，0），
∴當(dāng)x=2^n-1-1時，y=2^n-1-1+1=2^n-1，
即點A_n的坐標(biāo)為（2^n-1-1，2^n-1）．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及等腰直角三角形的性質(zhì)．解答該題的難點是找出點B_n的坐標(biāo)的規(guī)律．