Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，D是AB邊上一點(diǎn)，AB=6，AC=BD=4，P是的中點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD．
（1）求證：PD=PA；
（2）若cos∠PCB=，求PA的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等弧對等弦以及全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行求解．
（2）過點(diǎn)P作PE⊥AD于E．根據(jù)銳角三角函數(shù)的知識和垂徑定理進(jìn)行求解．
解答：解：（1）∵P是的中點(diǎn)，
∴PB=PC
又∵∠PBA=∠PCA，BD=AC
∴△PBD≌△PCA
∴PD=PA  

（2）由（1）可知，當(dāng)BD=4時(shí)，PD=PA，AD=AB-BD=6-4=2
過點(diǎn)P作PE⊥AD于E，則AE=0.5AD=1
∵∠PCB=∠PAD
∴cos∠PAD=cos∠PCB==
∴PA=
點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓心角、弧、弦的關(guān)系及解直角三角形的知識，綜合運(yùn)用了等弧對等弦的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的知識以及垂徑定理．