Question

（1998•江西）如圖，已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，AB在x軸上，點(diǎn)C在第一象限，AC交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)，求它的解析式；
（3）過點(diǎn)D作DE∥AB交經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)的拋物線于點(diǎn)E，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)AB=4，以及A的坐標(biāo)即可求得OB的長，則B的坐標(biāo)即可求得，C一定在AB的中垂線上，則橫坐標(biāo)可以求得，縱坐標(biāo)是△ABC的高，據(jù)此即可求得；利用待定系數(shù)法求得AC的解析式，從而求得D的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；
（3）在二次函數(shù)的解析式中，把D的縱坐標(biāo)，代入二次函數(shù)的解析式，即可求得E的橫坐標(biāo)，求得DE的長．

解答：解：（1）OB=AB-OA=4-1=3，則B的坐標(biāo)是（3，0）；
C點(diǎn)的橫坐標(biāo)是：

1

2

（-1+3）=1，三角形的高是：4×

3

2

=2

3

，
則C的坐標(biāo)是：（1，2

3

）；
設(shè)直線AC的解析式是：y=kx+b，根據(jù)題意得：

-k+b=0 k+b=2 3

，
解得：

k= 3 b= 3

，
則直線的解析式是：y=

3

x+

3

，
令x=0，解得：y=

3

，
則D的坐標(biāo)是：（0，

3

）；

（2）根據(jù)題意得：

9a+3b+c=0 a+b+c=2 3 c= 3

，
解得：

a=- 2 3 3 b= 5 3 3 c= 3

，
則函數(shù)的解析式是：y=-

2 3

3

x²+

5 3

3

x+

3

；

（3）在：y=-

2 3

3

x²+

5 3

3

x+

3

中，令y=

3

，
得到-

2 3

3

x²+

5 3

3

x+

3

=

3

，
解得：x=0或

5

2

．
故DE=

5

2

．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確求得B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．