Question

如圖所示，直角梯形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在y軸正半軸與x軸負(fù)半軸上．過(guò)點(diǎn)B、C作直線l．將直線l平移，平移后的直線l與x軸交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)E．且AB=2，BC=2

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，OA=4
（1）求直角梯形OABC的面積及直線BC的解析式；
（2）當(dāng)直線l向左或向右平移時(shí)（包括l與直線BC重合），在直線AB上是否存在點(diǎn)P，使△PDE為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先過(guò)B作BF⊥x軸交x軸于F，會(huì)得到，OF=AB=2，及直角三角形BFC，能求得CF，OC=CF+OF，從而求出直角梯形OABC的面積，這樣得出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)．由點(diǎn)斜式y(tǒng)=kx+b，把B、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出k和b即能求出直線BC的解析式．
（2）當(dāng)直線l向左或向右平移時(shí)（包括l與直線BC重合），在直線AB上是否存在點(diǎn)P，使△PDE為等腰直角三角形的點(diǎn)可以確定縱坐標(biāo)都為4，有兩相等的直角邊確定橫坐標(biāo)．

解答：解：（1）過(guò)B作BF⊥x軸于F，得，OF=AB=2，BF=OA=4且得直角三角形BFC，
所以根據(jù)勾股定理得：CF²=BC²-BF²=(2

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)2-4²=4，
∴CF=2，OC=CF+OF=2+2=4，
所以直角梯形OABC的面積為：（4+2）×4÷2=12．
由已知和計(jì)算得B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：（-2，4），（-4，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則得；
4=-2k+b   ①
0=-4k+b   ②
由①②得k=2，b=8，
所以直線BC的解析式為：y=2x+8．

（2）存在，所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為：
P₁（-12，4），P₂（-8，4），P₃（-

8

3

，4），P₄（4，4），P₅（8，4）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是一次函數(shù)的應(yīng)用及直角三角形的性質(zhì)應(yīng)用，其關(guān)鍵是通過(guò)解直角三角形確定點(diǎn)的坐標(biāo)求解．